ページ1:

單元十三 二次曲線 - 5 -
第十三單元 圓錐曲線
主題一:拋物線
> 定義
▶ 設平面上有一定直線L及非直線上一定點F,則平面上所有到點F等於到直線的距離之
動點P所形成的軌跡稱之。
L
▶ 數學式: PF=d(PL)
> 名詞介紹
1. 定直線L稱為準線;定點F稱為
焦點.
2. 對稱軸(M,簡稱軸):通過焦點F垂直準線L之直線.
3. 頂點(V):對稱軸與拋物線之交點.
4. 焦距( |C | ):頂點 V與焦點 F之距離稱之(VF=||=|c|).
V F
M
5. 拋物線上相異兩點的連線段稱為了玄,其中通過焦點的弦稱為 焦法.
6. 正焦法:垂直對稱軸的焦弦稱之.
▶ 基本性質
▶ 設準線與對稱軸的交點為4,則頂點 V 為AF之的中點.
▶ 拋物線的正焦弦長為焦距的4倍(正焦弦長=419).
【說明】
L
L
1201
#1221
A
V FV
M
M
1、VF=d(v,L)
VF = VA
11 V = A+F
2
Wanchen

ページ2:

▷ 方程式 .
x+2=0
L
y
標準式
圖
形
E
【說明】
單元十三 二次曲線 - 6 -
已知焦點F(c,0)、直線L:x=-C及曲線上任一動點 P(x,y)
(x, y)
: PF=d(P,L)
E
(c, 0)
x+
√√(x-2)² + (4-0)² =
1x+c1
√170
\x-c1² + y² = 1 x +41
x² = 2x + c² + y² = x² + > cx + c²
Y² = AUX =
y² = 4 cx
r
F
y
【0, c)
(c, 0)
0
x²=4cy
F
(0, c)
C
頂 點
c70(右)
(0,0)
○(左)
(70(E)
o(下)
焦
點
準 線
對稱軸
y=0
X=-
(0,0)
(0, 2)
J=-v
X = o
焦 距
正焦弦長
4101
401
Wanchen

ページ3:

▶ 方程式的平移(水平移動單位;垂直移動單位).
單元十三二次曲線-7-
以c >0 為例:
標準式 y² = 4cx
(Y-K) == 4 c (xh)
x²
=4cy
(x-h)=4cyk)
圖 形
0
(c, 0)
F'
(0, c
L'
O
L
F'。
Chik)
頂 點
(0,0)
(h,k)
(0,0)
(h,k)
焦
點
(c, 0)
(htc,k)
(0,c)
準 線
X=C
x=h-c
y=-c
Y=K-C
對稱軸
y=0
y=k
x=0
x=h
正焦弦長
4|c|
4
4|c|
4/01
>厂的一般式
▶ 對稱軸平行x軸(開口
將
左右
型)
(y-k)=4c(x-h)展開成 x=ay²+by+u
▶ 對稱軸平行y軸(開口 上下型)
* (x-h)² = 4c Ly-k)
展開成 y=ax+bx+c.
NOTE O
求拋物線前先確認:
(1) 頂點 坐標
(2) 焦距 |c|及其正負
(3)利用題意或繪圖判斷開口(一次項)
Wanchen

ページ4:

單元十三 二次曲線 - 8 -
主題二:橢圓
於729 無圖形
FE=29 線段
> 定義
后<29 橢园
▶ 設平面上有兩定點、以及一固定長2a (FEF<2a),則平面上所有滿足至兩定點距離和
為2a之動點P所形成的圖形稱之.
B1
C₁.
D1
▶ 數學式: PE+PE=29
AN
Fi
0
F2
JA2
> 名詞介紹
1. 兩定點、稱為
焦點,
"FiF₂ = 20
Cz
Dz
B₂
2.中心( 0 ):兩焦點的中點(對稱中心).
3. 頂點(A1、A2、B1、B2).
4. 線段 4,4稱為
長軸
;線段 BB,稱為短軸.
(令O4=a為長軸半長,則長軸長=2a ; OB =b稱為短軸半長,則短軸長=26)
5. 橢圓上任一點與任一焦點的連線段稱為
弦,
焦半徑
(PE、PF).
6. 橢圓上相異兩點的連線段稱為 ,其中通過焦點的弦稱為焦法.
7. 正焦法:通過焦點並垂直長軸的弦稱之(92、2
> 基本性質
▶ 令OF =OF =
則
=C'
a² = b²+ c².
▶ 橢圓的正焦弦長為
262
a
【說明】
B1
T
101
a
b
A
FT
O
- F2 A2
x
2a+x
02
B2
②.
(2C)²+x²=(24-x)=
40²+ x2=4a²-49x+x
4 ax = 4 (a²=c²)
ax = 462
b²
x = 5
X =
a
Wanchen

ページ5:

▷ 方程式 厂
【說明】
T
單元十三二次曲線-9-
已知焦點F(C,0)、F(C,0)及曲線上任一動點 P(x,y)
Fi
(-40)
0
F2
: PF+PF=2a
(x+c)²+y)+(x+y)。
= 2a
(√(x+1)+y³) = (za - √(x-1)²+y³)*
x+2x+x² + x = 4a² - 4a√(x^)² + y²+ *->1x+x+x
4(a√ √ (x-15+ y³)² = 4(a² - 40x)²
a²(x-2cx+ity)=at-ziex+cx²
(a²=c") x²+a²y² = a²(a²=")
b²x² + a³y² = a²b²
a²b²
「+」
=
ab
標準式
圖
T
形
形
X²
十
0
yz
形
形
狀
中
心
橫臥
(0,0)
=
頂
點
(±a, 0)
(0, 1b)
焦
點
(±0,0)
y
+
y=
92
F1
0
F2
P
直立
(0,0)
(±b, 0), 10, 1a)
(0, IL)
Wanchen

ページ6:

▶ 方程式的平移(水平移動單位;垂直移動單位).
以a>6>0為例:
單元十三 二次曲線 - 10 -
標準式
圖
形
r
=1
b2
y
I'
Fi
0
F2
(x-h)²(y-k)
92
十
62
F2
F₁ (h,k)
中 心
(0,0)
頂
點
(±a,0)、(0,±6)
焦 點
(±c,0)
長軸長
2a
(h,k)
(hta,k), (h,kb)
(htc,k)
29
短軸長
2b
26
b²
b2
正焦弦長
2a
29
NOTE O
求橢圓前先確認:
(1) 由長短軸決定型式 橫臥或直立
(2) 求橢圓 中心
(3)利用 9672
求a、b、c
Wanchen

ページ7:

> 參數式.
以a>b>0 為例:
標準式
參數式
x = a cos 0
=1
0≤日22元
+
b² a²
= 1
(x-h)² (y-k)²
y=bsine
x=bcose
{y=asime
x = h + acost
單元十三 二次曲線 - 11 -
【說明】
y=bsine
+
a²
=1
b²
y=k+bsine
0≤8227
(x-h) (y-k)
+
=1
b²
a²
x = h + boost
y=k+asind
ip (acose, bsiño)
050125
1050+ sin'8=1
▶ 橢圓內接矩形的最大面積為zab.
【說明】 長2a-1058.寬zbsine
(2a.cose) (absinė)
= 4 absine cose
二
zab.zsines
= zab sinze Szab
(115528|≤1)
NOTE O
B1
(acwse,bsins)
Al
0
B2
Wanchen

ページ8:

單元十三 二次曲線 - 12 -
主題三:雙曲線 40
双曲線
> 定義
=
兩泉
天后<2a,無圖形
▶ 設平面上有兩定點、F及一固定長2a (FF>2a),則平面上所有滿足至兩定點距離差
為2a之動點P所形成的軌跡圖形稱之。
▶ 數學式: PF-PF丨=20
> 名詞介紹
1
1. 兩定點尺、稱為不
焦點,
2. 頂點(A).A2).
3. 包含矩形對角線的直線稱為雙曲線的
FF = 2C.
漸近線.
4.
中心( 0 ):兩焦點的中點(對稱中心).
5.
4.4.稱為貫軸: BB稱為共軛軸
D:
B2
(令O4, =a 為貫軸半長,則貫軸長=2^;OB=b稱為共軛軸半長,則共軛軸長=26
6.
雙曲線上任一點與任一焦點的連線段稱為焦半徑(PE、PE).
7.
雙曲線上相異兩點的連線段稱為弦,
,其中通過焦點的弦稱為焦法.
8.
正焦法:
:通過焦點並垂直貫軸所在直線的弦稱之(CGC2、D,D2).
> 基本性質
c² = 9²+b²
▶ 滿足
時的BB稱為共軛軸.
▶中心是A1A2、B,B2,FF2的中點,
26.
▶ 雙曲線的正焦弦長為
a
【說明】
r
20+x
F2X
X²+(24)²=(2a+x)²
X²+4C2=4a²+4ax+x²
Wanchen
4ax = 4(c²-²)
ax =
x =
= b²
b2
9
₁₁ D, P₂ =

ページ9:

▷ 方程式 厂
F
(-0,0)
y
x
單元十三二次曲線 - 13 -
【說明】
已知焦點F(C,0)、F(C,0)及曲線上任一動點P (x,y)
PF-PF-2a
=
Ph
1x+3+ 4+ 5α-**-
-
=29
2
((x+4)*+ y) = (a+Sex+y=)²
X+2x+1/+12=4a²+495x+y++,
A(ux - 40*) = 465x-3+4)*
² x-za²extat=a²(x-200+2+12)
ʊ²x²->axx +a" = a²x² -> of <x+au+aye
a²³la²-c³) = (a=c²) x²+ a³yz
標準式
yz
a
圖 形
-b²x²+a^y²=-a-b²
xd
-962
-9262
水
x
形
形
狀
左右
中 心
頂
點
點
焦
點
貫
軸
共軛 軸
漸近線
62
a
---
+/- 20x +/-²+xf
100)
(±a, 0)
(±0,0)
29
26
bx+ay = 0
上下
(0,0)
(0, 1)
(0, 1)
29
26
ax+by=o
Wanchen

ページ10:

> 漸近線的性質
1. 兩漸近線交於中心.
單元十三二次曲線- 14.
2.
任一雙曲線方程式均可分解成(ax+by+ci).(azx+bzy+cz)=k(k≠0)之型式,
#3+ a₁x+by+4=0 & ax+by+ 6₂ =º AIZMEK.
3.
以L:aqx+by+C=0及L2: azx+bzy+z=0為漸近線的雙曲線方程式假設為
(ax+by+c):(92x+by+(2)=k
·92b2
4.
雙曲線上任一點到兩漸近線距離的乘積為定值
9+62
【說明】設:
Li:bx+ay=o
-=1
a²
b2
L2:bx-ay=o
*
FA
> 特殊雙曲線
x
di xd₂ = 1 bxo+ayol 16xo- ayol
5679²
(bx²-(ayo)²
9+62
9762
a²+b²
▶ 賈軸長= 共軛軸長的雙曲線稱等軸双曲線。
例如:
-2=1
性質: 1.貫軸長 = 共軛軸長正焦長.300=2002
2. 兩漸近線互相垂直.
a
a za
若一雙曲線的貫軸和共軛軸分別為另一雙曲線的共軛軸和貫軸,則此兩雙曲線互為
共軛双曲線
例如:
a
性質: 中心、 漸近線、
C相同.
四焦美芝园
NOTE 2
Wanchen

ページ11:

單元十三二次曲線 - 15 -
▷ 方程式的平移(水平移動作單位;垂直移動單位).
以a>b>0 為例:
(x-4)² (y-k)²
標準式
圖
形
b²
=1
92
b² = /
中 心
(0,0)
(h,k)
頂 點
(ta,0)
(h±a, k)
焦
點
(±c,0)
(h±c, k)
貫
軸
y=0
1方程式
y=k
共軛軸
x=0
x=h
漸近線
bx+ay = 0
b(x-h)±a(yk)=0
NOTE 2
求雙曲線前先確認:
(1)由買 貫軸、共軛軸決定型式開口
(2)求中心
(3)利用
c² = α²+ b²
求a、b、c
Wanchen