Question

ゲスト

複素関数論の問題だと思われます。
どなたか分かりますでしょうか、

ーーーーーーーーーの一
(3) 双曲的放物面 z 三 2xy と柱面 (xー 5)2 + (ッー 2)2 = 1 および平面ター 0 で囲まれた部分の体積V を求めよ.
ャ                  館一5三ケ7coSの, ッー 2 = 7sinのとおき 2 重積分を利用する.)

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複素関数論 二重積分 体積

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

なず

解いてみました。複素はわからないんですが、ただの重積分じゃないでしょうか。

ゲスト

勘違いしてたみたいです、すみません
どこの体積を求めてるのか想像できなくて式をどうたてているのかがよくわからないのですが、どうやって式を立てますか？また、どういった公式を用いていますか？
初歩的なところでごめんなさい

なず

わたしは特にどういう立体なのか想像してないです。今回の問題はxyが円(柱)で、そしてzの式もあるという問題なので、大体領域をその円になるように極座標の置換をして、そして高さのほうf(x,y)は大きいz-小さいzで求められます。

ここで一つのポイントは今回の立体の全体はxy平面の上にあるところです。これは積分領域の円が第一象限にあることからわかります。そしたら上の曲面z=2xyで下の面z=0を引くと高さが2xy-0=2xyで、∬2xydxdyになります。

ゲスト

なるほど、流れは理解出来ましたありがとうございます！
あと、rの範囲が0≦r≦1になる理由がわからないのですがどうしてこうなりますか？

ゲスト

あ、円の半径が1だからですか？

なず

はい、そのとおりです。

ゲスト

また、dxdyがr×drdθになるのも分かりません
画像のようになるのかと思ってしまいました

なず

重積分の置換は簡単な微分で計算するんじゃないですね。
ヤコビアンっていうのがあって、Jとおくと、置換後はそれの絶対値をかけてdxdy=|J|drdθです。
平行移動があるとも今回の置換は円なのでヤコビアンはrですね。これは覚えておいたほうがいいです。具体的に計算すると画像のようになります。

ゲスト

なるほど！
理解出来ました！
丁寧にありがとうございました🙂