Question

miyabi

証明のなかで、有理数+無理数=無理数は証明せずに使うことができますか？
教えてください！

@393 次の問いに答えよ。
員 logz3 が無理数であることを証明せよ。
(2 ⑪) を用いて logz6 が無理数であることを証明せよ。
(3) (2) を用いて log。4 が無理数であることを証明せよ。

三21ogio3 十log。7
=2X0.477十0.845= 1.799

393 (1) 3>1であるから logz3>0 である。

よって, logz3 が無理数でない, すなわち有理数
であると仮定すると, 2 つの自然数 , ヵを用い
:        1og。 =テ

と表すことができる。このとき 2\*=3
すなわち     3

この等式の左辺は偶数であるが, 右辺は奇数で
ある。これは矛盾している。

したがって, log。3 は無理数である。

の!

 

(②) log。6 が無理数でない, すなわち有理数である

と仮定する。
1ogz6 =log。2 + log。3 =1+log。3

OS Oo ーロの0珠あざ ①
logz6 が有理数ならば 1ogz6 一1 は有理数である。
① の右辺は有理数であるが, (1) より左辺は無理
数である。これは矛盾している。
したがって, 1og。6 は無理数である。

(3) log。4 が無理数でない, すなわち有理数である

 

 

と仮定する。
_ logz4     2
loge4   logz6 log。6
2
すなわち     1ogz6 = [pcの3 ⑨

 

        jm'2      に
loge4 が有理数ならは ーー は有理数である。

@② の右辺は有理数であるが, (2②) より左辺は無理

数である。 これは矛盾している。
したがって, loge4 は無理数である。

対数 無理数 証明

Answer 1

とくめい

基本的には断り無しで使ってもokです。
証明したかったら有理数p/q、無理数r(p,qは整数)としてその和が有理数であると仮定して矛盾を見つければokです。

miyabi

分かりました！ありがとうございます。