Question

M

【挑戦状🔥】
長さ1とaの2つの線分が与えられている。
このとき、長さ√aの線分を作図する方法の説明を完成させなさい。また、この方法で作図された線分の長さが√aであることを証明しなさい。ただし、aは正の定数とする。

【作図方法の説明】
3点A,B,Cをこの順に、AB=1、BC=aとなるように、同一直線上にとる。

この続きを完成させることと、その証明をすることが問題です。

とても面白い問題だと思い、これを自力で解ける人がいるのか気になったので、挑戦状として質問させていただきます。
ちなみにこの問題は、数学科の教員採用試験で過去に出題された問題です。

途中まででもいいので、様々な回答をお待ちしています！
よろしくお願いします🙇‍♀️

Answer 1

ALF

ACを直径とする円を描く。
直線ACに垂直な線Lを描き、円との上側の交点をMとする。
このとき、
BMが求める√aになる。

証明）
図の作り方から、三角形ABM、BCM、AMC、はすべて直角三角形であるため、
AM² = BM² + AB² -①
CM² = BM² + BC² -②
AC² = AM² + CM² -③

③に①、②を適用することで、
AC² = BM² + AB² BM² + BC²
ここで、AB = 1、BC = a、AC = a + 1 より、
(a+1)² = 2BM² + 1 + a²
展開して整理すると
BM² = a
今、BM > 0 であるため
BM = √a

M

回答ありがとうございます！

すごいです！
ただ、2行目に「点Bを通り」という記述が抜けてしまっています😱

証明も正しいですが、違う定理を使うともっとスマートに証明できますよ！

ALF

あら、確かに記述漏れですね。
スマートな証明（エレガントな回答？）は楽しみにしておきますね（笑

M

スマートかどうか微妙なところですね笑
解答です！