記号の説明がないと一般にそのような等式は成り立たないとしか言えないです…
sup絡みの証明は、
①定義に沿って示す
②≦と≧を両方示す
③>または<と仮定して背理法
の３つくらいが考えられます(他にもあるかも)
基本どれでやっても解けますが、個人的な好みで②の方法で示しますね
(証)
(sup(tA)≦tinfA)
任意のa∈Aに対して、infの定義より
a≧infA
よって、t<0より
ta≦tinfA
したがって、tinfAはtAの上界であるから
sup(tA)≦tinfA
(sup(tA)≧tinfA)
任意のa∈Aに対して、supの定義より
sup(tA)≧ta
よって、t<0より
sup(tA)/t≧a
したがって、sup(tA)/tはAの下界であるから
sup(tA)/t≦infA
t<0より
sup(tA)≧tinfA
以上より、
sup(tA)=tinfA ◻︎
補足します
tは実数とし、実数の有界な部分集合Aに対してtA={ta|a∈A}
と定義する。このとき、t<0ならば
sup(tA)=tinfA
が成り立つことを示せ。