Question

かっちゃん

急いでいます！どなたかわかる方教えていただきたいです💦

以下の積分を行いなさい。

CO

2
6)    IS    (とント : ーーと)

積分 不定積分

Answer 1

にゃんこ

1)は部分分数分解

2)はヒントのように置換積分

かっちゃん

1番の部分分数分解はこんなのでいいんでしょうか？
あと、6番のこの続きは積の微分公式を使って解けますか？

にゃんこ

どうやって部分分数分解したのかわかりませんが計算結果が間違ってます。

∫ {-t²/(1-t²)} dt
まで来たらあと一歩です。
∫{(-t²+1-1)/(1-t²)} dt
と少し分子に手を加えて、
∫ {(-t²+1)/(1-t²)} + {-1/(1-t²)} dt
と見て積分しましょう。

部分分数分解のやり方については以前私が他の質問にて回答したのでそれを貼っつけおきます。
わからないところがありましたら再度質問お願いします。

かっちゃん

1番勘違いをしていました💦
わざわざ画像ありがとうございます！
どうでしょうか？

にゃんこ

途中まで合っていますが最後の最後でやらかしていますね

1)は

∫ [{-2/(2𝓍+1)} + {3/(3𝓍+1)}] 𝒹𝓍

まで合ってます。

2)は

∫ [{-1/(1-t²)} +1] 𝒹𝓉

まで合っています。

それでは質問です。

-2In|2𝓍+1| を微分してみてください。

-In|1-t²| を微分してみてください。

積分は微分の逆演算なので逆操作した場合も演算結果が等しくならないといけません。

ダラダラと長くなりますがよろしくお願いします。

かっちゃん

たしかに、微分しても戻りませんね😓

6番は、文字数が1次の式になるようもっていく、という感じですか？

今度はどうでしょうか。

にゃんこ

1) 正解です👏

2) おしいです

∫ {-1/(1-𝓉²)} 𝒹𝓉=(1/2)·In|(𝓉-1)/(𝓉+1)|

になります。

ちょいミスしてますね。

∫ {-1/(1-𝓉²)} 𝒹𝓉

=∫ {1/(𝓉²-1)} 𝒹𝓉

=∫ (1/2)·{-1/(𝓉+1)}+{1/(𝓉-1)} 𝒹𝓉

=(1/2)·{(-In|𝓉+1|)+In|𝓉-1|} +C

=(1/2)·In|(𝓉-1)/(𝓉+1)| +C

あとは∫ dtを計算するのと、
置換したので元に戻して終わりです。

かっちゃん

なるほど...
部分分数分解ができてなかったかんじですね

tも、元に戻しました！