Question

ゲスト

問題1〜4まで分からないです教えて下さい

問題 1
次の 2 つの関数 z1(),z2() が線形独立でやることを示せ :

() z1() = 1 zz(⑰記上
(ii) z1(⑰ = cos(oの, zz(⑫ = sin(Cの (C (デ 0) は定数)、
(操) za(の=のず。 zz() ニの-! (A+,A_ Q+孝X-) は定数).

問題 2 (単振動)

ばね定数た> 0 のばねにつながれた質量 m の物体が, 地面に固定された数直線 O >上を直線運動
しているとする. 但し, ばねの自然長の位置を原点, 物体の位置を y とし, 物体には, ばねから受
ける復元力のみが働くとする. 初期条件として, 時刻#三 0 における物体の初期位置 >(0) = 0, 初速

度 。(0) = w とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
⑬) この物体に対する運動方程式を立てよ.
(⑪) 運動方程式の一般解を以下の順に従って求めよ:
(a) 運動方程式の特性方程式を立て, その解 A』 と判別式 を求めよ.
(b) (8) で求めた ハ』を用いて運動方程式の線形独立な解を 2 つ作れ.
(c) (b) で求めた 2 つの解を用いて, 運動方程式の一般解を求めよ.

知) 初期条件から, 特殊解を求めよ.
iv) 横軸に時刻ヵ 縦軸に位置z をとり, 特殊解のグラフの概形を書け。

(v) この物体は周期運動をする. この周期 75 を求めよ.

問題 3 (減誤振
問題 2 の状況ょ      て, 物体は抵抗係数 > 0 の空気中に置かれているとする. 物体には, ばねか

ら受ける復元力と空気抵抗力のみが働くとする. このとき, 以下の問いに答えよ.

⑪) この物体に対する運動方程式を立てよ.

連動方程式の一般解を以下の順に従って求めよ:

運動方程式の特性方程式を立て, その解 』 と判別式 を求めよ.

(b) (8) で求めた判別式 D の符号 ((1) > 0 (2)の= 0 (3) < 0) で場合分けをして, それぞ
れの場合について, 運動方程式の線形独立な解を 2 つ作れ.

(c) (b) で求めた 2 つの解を用いて, 運動方程式の一般解を求めよ.

初期条件から, 特殊解を求めよ.
(iv) 4一ヴ > 0のとき, この物体は滅誤振動をする. この物体の周期7 を求めよ。 また, 問題 2
の周期 75 との大小関係を不等号で表わせ。 さらに, 横軸に時刻 縦軸に位置> をとり, 特殊

解のグラフの概形を書け.

問題 4 (文強制振動)
問題 3 の状況に加えて, 物体には時刻 に依存する強制力 7o sin(or9 (fo,g7 > 0 : 定数) が働いて

いるとする. 物体には, ばねから受ける復元力と空気抵抗力と強制力のみが働く とする. このとき,
以下の問いに答えよ.

() この物体に対する運動方程式を立てよ。
im(o7の(41, 4 : 定数) が運動方程式の解である と仮定して 4、 4>

) と sin(o79 が線形独立であることを使え)。

  

  
  

 

() zo(⑦⑰ = 4i cos(g7の4 si

を求めよ (ヒント: cos(g7の
1 オー ソイ 4 とおき 4をら/ の関数とみたとき, つまり 4= 4(o/) としたとき。Aはある
取る. の を求めよ、 但し。 2mkこの> 0 とする、               区