Question

ペリー

この線形代数の問題の解き方を教えてください！
部分空間を写真のように定めた場合vの基底はどのように求めたら良いのでしょうか？

線形代数

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

gößt

ℝ³の基底 e₁,e₂,e₃ を適当に一つとれば、任意のx∈ℝ³に対して
x＝a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃
と表せるので、
Ax＝a₁(Ae₁)+a₂(Ae₂)+a₃(Ae₃)
です。よって
V＝<Ae₁, Ae₂, Ae₃>
つまりVは Ae₁,Ae₂,Ae₃ で生成されます
あとは、Ae₁,Ae₂,Ae₃ が一次独立かどうか調べて一次従属であれば適当にベクトルを取り除くことで基底が得られます

ペリー

丁寧にしてくださりありがとうございます

ペリー

一次独立でないものがでてきてしまったのですが、適当にベクトルを取り除くというのがよくわからないのですが、教えてもらってもよろしいでしょうか？

gößt

一次独立でないということは、３つのベクトルのうちどれかは他のベクトルの一次結合で表せるということと同値です。他のベクトルの一次結合で表せてしまうベクトルは不要なので取り除くということです

今の場合、
[2] [ 1] [1]
[1]＝(-3)[ 3]＋5[2]
[3] [-1] [0]
なので
[2]
[1]
[3]
は取り除いてもよく、残った
[ 1] [1]
[ 3] [2]
[-1] , [0]
は一次独立なのでこれらが基底になります

ペリー

わかりました！ありがとうございます！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)

ペリー

最後の質問ですが、今回はＡにxをかけたのですが、先にＡを簡約かしてからxをかけても、よろしいのでしょうか？

gößt

列基本変形だけならやっても大丈夫だと思います

ペリー

なるほど、ありがとうございます！