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漸化式について議論する前に、
手始めに数列について考えてみましょう。
数列とは広義には「ある数に対応する項の列」
すなわち数の列であればなんでもよく、
たとえ円周率の下n桁目を並べても、
ゲームで使われるような乱数を順番に並べたとて、
これも立派な数列です。まぁこんなの出ませんが。
高校数学でいう数列は「a(k)→a(k+1)に移る中で一定のプロセスを踏まえる数列」と思ってください。
例えば「d足す」や「r掛ける」、「b(k)足す」など…
このプロセスを量化子(全ての数を代表したある)nで表現することが所謂「一般項を求める」行為です。
さて、こう考えると、高校でいう漸化式とは、
この「d足す」や「r掛ける」に相当する部分を教えてくれることになり、大きなヒントになり得ることが分かるでしょう。
さて、ここから受験テクっぽい所について考えます。
私たちが知らなければならない一般項、及び漸化式は
①a(n+1)=a(n)+d → a(n)=a(1)+(n-1)d
②a(n+1)=ra(n) (r≠1) → a(n)=a(1)(r)^(n-1)
③a(n+1)=a(n)+b(n-1) → a(n)=a(1)+Σb(n)[1〜n-1 ]
の3つです。他のものはすべてここから導けます。
これ以外の多くの問題は等比数列と等差、階差などを絡めた問題となっています。この時の指針は
a(n+1)-b(n+1)=p{a(n)-b(n)}
a(n+2)-a(n+1)=p{a(n+1)-a(n)}
など、等比数列の形に落とし込むことで解くことができます。これらの解法は個別に覚える必要があるかもしれませんね。
以上、大雑把ですが、漸化式は
覚える所は覚え、何回なものは等比数列に落とし込むことで大概の問題は解決しますよ。他は誘導がつくか、殆どの人が解けないと思いますので。
ノーヒントで解けないとダメな漸化式は以下4つです
①a(n+1)=pa(n)+q
②a(n+1)=a(n)+f(n)
③a(n+1)=pa(n)+f(n)
④a(n+2)=pa(n+1)+qa(n)
①のタイプには逆数をとることが必要な
a(n+1)=a(n)/(qa(n)+p)
のような形もあります。
これらはどれも初見殺し的なところがあるので、定石を覚えて立ち向かいましょう
はい！ありがとうございます！！
なるほど！覚えるところは覚えてしっかり演習をします！