微分は何を表すかについて、、、
一言でゆうと[変化の割合]です。
中学のとき直線の変化の割合を求めるために
Yの増加量/Xの増加量で傾きとゆうもの
いわゆる変化の割合を求めたことでしょう。
高校では曲線の変化の割合を求めるために
微分とゆうものを使います。
しかし、直線のように変化が一定ではありません。
曲線は一点に注目して、その一点における
変化の割合を求めていきます。
つまり、微分した値が0ならば、
その一点において変化のがないってことですよね
グラフの波形は上がったり下がったりしていますが
例えば、上がっているものが下がり始めた瞬間
変化はゼロになりますよね。
コレがあなたが思っていた極値ですね。
では、このような場合はどうでしょう、
上がっていたものが急に一定になり
また、上がっていく。
この場合も一定になった瞬間は変化はゼロですね。
しかし、単調増加していくので
極値は持たないことになります。
とても良い質問ですよ！
教科書にも書かれているとは思いますが、
極値の条件は
「極値を持つならば、f'(x) = 0」と書かれているはずです
しかし、これには罠があってその逆
「f'(x) = 0 ならば、極値を持つ」が成り立つとは書かれていないのです
(数1Aの論理を思い出してみてください。命題の対偶は真ですが、逆が成り立つとは限らないのです)
数学にはしばしばこういった論理の罠が、潜んでいるので、気をつけてみてください！
なぜ逆が成り立たないのか、については微分がなにを表してるかなどを考えてみてください！
そもそも微分して0になったから極値だっていう考え自体が大間違いですが...
f'(x)の符号が変化してる所が極値になります。
余計なお世話だと思いますが、教科書をよく読まずきちんと定義から理解せずして特に微積の分野は解けるわけがないですよ。(数3を取らないのであれば目くじらを立てるほどではないですけど)
問題を解きたいのは分かるのですが、一旦よく教科書を読んで下さい。
つまり、f'(a)＝0かつf'(a)で符号変化が逆転あれば、
x＝aで極値をとります。
よって、極大値、極小値は2個、3個と取る場合があります。
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補足しておくと、
微分した値はその一点での変化の割合といいましたが
それはその点での接線の傾きともなります。
グラフが上がっていくときはもちろん
接線の傾きは正になりますね。
下がっていくときは負になりますね。
つまり、微分した値が0であった場合、
その前後の点で微分してみて
正負が変化すれば極値を持つと思えば間違うことはないです