✨ Jawaban Terbaik ✨
內積求出來是一個實數（值）
對於兩向量的內積定義是
→→ →→
a •b=|a||b|•cosθ
內積符號“•” dot
其中θ是兩向量的夾角。
至於內積能做什麼？（平面，空間皆有）
1. 可以判斷兩向量的夾角
2. 求向量的分量、正射影
3. 求兩直線的的夾角
4. 點到直線的距離公式由來
5. 柯西不等式 由來
6. 物理意義為「功」
⇈這些數學題目都會遇到內積。
----------------------------------
外積求出來仍是向量！
符號是"×" cross
外積能幹嘛？（空間限定！）
1. 求兩空間向量的公垂向量
2. 求兩空間向量所形成的平行四邊形面積
3.有了外積，後面介紹平面方程式，空間直線方程式都需要找法向量與方向向量，很重要！
4. 外積與內積結合可以求三空間向量所形成的平行六面體體積
--->也就是與三階行列式有關。
⇈空間數學題目很需要向量的運算！
好的😁😁
預計這裡做為提問區。
我最近有點懶得一個個點進去看，哈哈。
先感謝po文主和各位同學
解法如下
利用斜率、畢氏定理，
然後兩根的差，就可以解 m 的四次方程式。
m=1 可以很快找到，
但是分解後的三次方程式，
用勘根定理可以發現有一個負實根在
–5<m<–4 之間，沒有其他的實根了。
剩下兩根就是共軛複數根。
懂了謝謝
如下圖所示。
然後無論是拋物線、橢圓、雙曲線
其實技巧不外乎就是（我以拋物線為例）
1. 熟記拋物線標準式：
（1）y–k=4 • c • (x–h)²
因為這是二次函數，x項有平方
因此開口為上下型
且頂點為 (h,k)，焦距是|c|。
注意到：c>0 開口向上、c<0 則開口向下
（2）x–h=4 •c •(y–k)²
這不是函數，y項有平方
因此開口是左右型
且頂點為(h,k)，焦距是|c|
注意到：c>0 開口向右、c<0 開口向左
（我都記右正左負）
2. 務必記住二次曲線的幾何性質
例如 拋物線的任何一點必滿足：
「到焦點、到準線，等距離。」
很多題目就是用到這個幾何性質。
3. 一定要會畫簡圖，因為不畫根本沒辦法解題。而拋物線的畫法，只要滿足2.的幾何性質，且 焦點F、頂點V、準線L 畫出來，基本上就可以進行分析了。
4. 有時候點在圖形上，不妨就代入方程式，看看能不能得到什麼線索，例如拋物線方程式中很重要的常數 c 。
答案是24/5
To: cakee
遇到 log，x為底數，一律用換底公式換掉
這裡換10為底。
所以不等式可以直接改寫成
logx – 1/logx < 0
這裡我們不確定 x 的範圍
所以討論：
（1）0<x<1，則logx<0
同乘 logx 需要改方向：
(logx)²–1>0
(logx+1)(logx–1)>0
logx<–1 或 logx>1 (不合)
x< 1/10 ，所以（1）找到的範圍是
0<x<1/10。
（2）若 x>1，則 logx>0
同乘 logx 方向不變：
(logx)²–1<0
(logx+1)(logx–1)<0
–1<logx<1
因為（2）限定 logx>0
即有 0<logx<1
故得 1<x<10。
綜合（1）（2）討論
得 0<x<1/10 或 1<x<10。
想問一下為什麼不能直接往左邊走，在繞圓弧
題目說不能穿越水池，那當然就是繞著水池走囉~
又切線段是最短路徑
那一小段是24√2–24才對
感謝
是我算錯
9. 不妨假設A(–c,0), B(c,0)
（默認A在B的左邊，橢圓半焦距c>0）
那麼根據正切值等於PA,PB的斜率
寫出點斜式得
直線PA : y=(1/2)(x+c)，即 x–2y+c=0
直線PB : y=–2(x–c)，即 2x+y–2c=0
解聯立可得P(3c/5, 4c/5)
又 AB=2c，P的y座標就是△PAB的高
得 1 = 2c × 4c/5 ÷ 2
解得 c=√5/2 （取+）
接下來，PA+PB=2a (橢圓的定義）
因為 P(3√5/10, 2√5/5)
A(–√5/2,0) ,B(√5/2,0)
利用畢氏定理算出
PA=2, PB=1, 得 PA+PB=3=2a, a=3/2
再由橢圓的關係式 a²=b²+c²
9/4 = b²+ 5/4，得 b²=1。
橢圓是左右型，中心(0,0) 故方程式為
x²/(9/4) + y² = 1。
14. 非常難證。
【證】做一橢圓，以及三個同心圓（圓心為點F）如下圖所示。
並令三個同心圓的半徑分別是
r–d, r, r+d，其中公差 d>0。
設此橢圓焦距為c>0，半長軸為a>0，且兩焦點分別為F(c,0), F'(–c,0)，滿足FF'=2c，橢圓方程式為
x²/a²+y²/b²=1，且 a>b>0。
則有
P₁F+P₁F'=(r–d)+(2a–(r–d))
P₂F+P₂F'=r+(2a–r)
P₃F+P₃F'=(r+d)+(2a–(r+d))
如下圖所示，可分析出三個三角形，其中底均為2c，且高分別為y₁,y₂,y₃。由畢氏定理分別可知
y₁²=(r–d)²+|x₁–c|²
=(2a–(r–d))²+(x₁+c)²
化簡上式可得
x₁=(a²–a(r–d))/c；
y₃²=(r+d)²–|x₃–c|²
=(2a–(r+d))²+(x₃+c)²
化簡上式可得
x₃=(a²–a(r+d))/c；
即有 (x₁+x₃)/2 = (a²–ar)/c
又 y₂²=(2a–r)²–(c+x₂)²
化簡得 x₂= (a²–ar)/c
因為 (x₁+x₃)/2=(a²–ar)/c=x₂
故證得 x₁, x₂, x₃ 為等差數列。
倒數第4行補充（少打一行）
y₂²=r²–|x₂–c|²=(2a–r)²–(c+x₂)²
後兩項移項整理，得
4cx₂=4a²–4ar
可化簡得 x₂=(a²–ar)/c。
(D) |x+y|=1
去絕對值得 x+y=1 或 x+y=–1
圖形是兩條平行線
(E) |x|+|y|=1 討論四個象限的結果
I : x+y=1
II : –x+y=1
III: –x–y=1
IV: x–y=1
畫出來後，就是一個斜的正方形
頂點是(1,0), (0,1), (–1,0), (0,–1)
方法如下。
(1)恰好可以因式分解，圖形為雙直線
(2)錯誤，貫軸在 x=–1上
(3)先固定y，解x的一元二次方程式
發現判別式恆負，表示x無解，故無圖形。
(4)配方後發現=0，可以因式分解
也是雙直線，不是雙曲線。
(5)先看出橢圓的中心在(7.5, 3.75)
因為(0,0)代入得到 18>0，表示原點在橢圓的外面，所以該橢圓並沒有通過第三象限
而 xy=6是斜45度的雙曲線，分布在一、三象限，可知雙曲線與橢圓只會有兩個交點而已。
那後面會消失是因為，b與yb索張出的平行四邊形面積是0（扁成一條線的平行四邊形）
謝謝回答 我懂了！
因為題目說一開始A袋1白1紅，B袋1紅
這就是初始狀態，所以最一開始發生情況 I 的機率就是 100%，情況 II 機率0%
就是 1、0 矩陣。然後就開始乘上轉移矩陣
事實上後面那個極限，就是 f'(1)
即 x=1 的導數，也就是微分。
可微分 = 導數存在，表示極限就存在
那麼可微分的點就必定連續！
所以該處連續，表示 函數值 = 極限值
利用這些觀念，就可以來求
極限存在：左極限 = 右極限 成立。
f(1) 的函數值相等，也等於 x→1 的極限值
先講上面的證明題
不失一般性，假設 0≤a≤b≤c≤1
那其實畫數線圖就可以知道
|x–a|+|x–b|+|x–c|≥|a–c|，
當 a≤x≤c 成立等號就成立。
那麼 f(x)≥ |a–c|/3 ≥ 1/3，若 a=0, c=1
就會有最小值 1/3。
那麼，f(x)≥1/3 對於任意實數x恆成立
就表示一定存在 x0 使得 f(x0)=1/2了。
更正，對於任意實數 0≤x≤1。
然後（3）其實差不多
你可以用一次近似的概念來看
你去觀察 y=sinx 在 x=0 附近的圖形
會發現其實跟 y=x 的圖形差不多
所以當x非常靠近0的時候，
你可以視 sinx ≈ x
所以 （3）視為 sinx/x，極限還是1。
你已經想到這是 x=f(y) 的函數了
這個時候你就要知道x,y現在是相反的狀態
那你前面算導數都正確
但是要寫切線方程式，應該要這樣寫：
x–2=–2(y–0)
x=–2y+2，這樣才是正確的切線方程式。
另外我講一下大一的方法，
這叫做隱函數微分法。
因為之後會遇到沒辦法寫成 x=•••的形式
就算真的寫出來，有時候微分也很難求。
可以自行先上網學。
這裡我簡單介紹，因為
y=f(x) 表示 y是x的函數。
今考慮 y²=f²(x)，對x微分可得
(y²)' = [ f²(x) ]' = 2f(x) • f'(x) = 2y•y'
其實這也就是微分連鎖律。
接下來，我們對方程式 y²–2x–2y+2=0
對 x 做微分：
2y•y'–1–2y'=0
(2y–2)•y'=1
y'=1/(2y–2)
因此，(2,0)代入導函數可得
y'|(2,0) = –1/2 ←真正的切線斜率
所以得切線方程式 y=–1/2 (x–2)
即 x+2y=2
更正，對方程式「y²–x–2y+2=0」
我 x 的係數誤多打了 2
看起來沒問題，a+b=2 跟答案不一樣嗎？
答案是給7，或許是答案錯了（？
講的好詳細！！
謝謝你！！☺️