Question

前田

この問題について教えてください！
また、f(x)の逆関数は直接求められますか？

Answer 1

Junior

自分で解いてみたのですが、下のリンクの解答が非常にわかり易かったので載せておきます。
http://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2006-6/
https://youtu.be/SOirxnLY3Do
逆関数が直接出せるかどうかについては、友人とも考えましたが厳しいのではないかという意見に落ち着きました。(解けるかも知れませんが)
まぁ、わざわざ言い換えてくれてるので使わないわけにはいかないでしょう、ということで、要するにわかりません！笑

Answer 2

gößt

逆関数については直接求めることはできないでしょう

(1)
・f(x)が単調増加
・lim[x→+0]f(x)=-∞
・lim[x→∞]f(x)=∞
を証明すれば、f(x)は連続関数ですから中間値の定理よりどんな実数aにもf(x)=aを満たすx>0が存在し、単調性よりただ一つとなります。

(2)部分積分を使うといいです。
∫[8,27]g(x)dx
=∫[8,27](x)'g(x)dx
=[xg(x)][8,27]-∫[8,27]xg'(x)dx
=27g(27)-8g(8)-∫[8,27]f(g(x))g'(x)dx
第二項はこのあとt=g(x)とおいて置換積分すれば解けるかと。

前田

わかりました、もう少し(2)についての解答を教えてください！

gößt

他の方が解答へのリンクをはってくれたのでそちらでもいいとは思いますが、一応書いておきます。

27g(27)-8g(8)-∫[8,27]f(g(x))g'(x)dx
まではわかったということでいいんですかね？この式の第一項、第二項のg(27),g(8)の値は頑張って求めます。

第三項(さっきは間違えて第二項と書いた所)の計算をしていきます。
t=g(x)とおけばdt=g'(x)dxなので
∫[8,27]f(g(x))g'(x)dx
=∫[g(8),g(27)]f(t)dt
=∫[g(8),g(27)]{12(e^(3t)-3e^t)/(e^(2t-1)}dt
=∫[g(8),g(27)]e^t{12(e^(2t)-3)/(e^(2t-1)}dt
ここでs=e^tと再び置換すればあとは分数関数の積分なので解けるかと思います。

gößt

逆関数の積分はあまり見かけないですが、部分積分するという頭はもっていてもいいと思います。logxの積分も同様に1•logxと見なして部分積分しますし。以前sinxの定義域を適当に制限してその逆関数の不定積分を求めさせる問題を見たことがありますが、やっぱり同様に部分積分で解けます。

前田

ありがとうございます