これを見てください。
https://www.desmos.com/calculator/zdozdjfmx2
①赤 x-2y+4=0
②青 2x-3y+3=0
③緑 x-2y+4+k(2x-3y+3)=0
kの値を動かすと③の直線は動きますが，常に直線①と②の交点Aを通っていることが分かると思います。
この直線③が点B(2,2)を通るときにkの値を止めれば，この直線はAもBも通っているので，求める直線になるというわけです。
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この考え方は，2つの円の交点を通る円(または直線)を求めるときに使うのが有名です。
こちらも参考にどうぞ。
https://hamadajuku.com/column/math/blend.aspx