Question

らむ

方程式の問題です。

（2）のような問題で、因数定理を使う場合と、今回のようにＸの累乗で割って考える場合は、どのような違いがありますか？？

どちらの方法を使えば良いか、即座に判断する方法はありますか？？

2.次の方程式の実数解を求めなさい.
x-6x2-16=0
(1)
(2)
(3.8.87
4-3x²-2x2-3x+1= 0
(22 愛知学院大 歯,薬)
•
レするこの

2.(1)についての2次方程式です。
(2) 係数がx2の項について対称ですが,このような
係数が対称な方程式を相反方程式と呼びます. 4次の相
1
方程式は x2 で割ってx+— =t とおくと,tの2次方
X
同様
程式になります.
解
(1)x-62-16=0より,
(x2)2-6x2-16=0
よって, 実数解はx=±2√2
...(x+2)(x-8)=0
(2)-3-22-3x+1=0はx=0では成り立たな
3 1
いから、両辺を x で割るとx2-3x-2-
+ =0
X
x²
x2+
.2
1/1/23 (12) 2
1
x+1=t
IC
x2
2
x2
t とおくと, x2+ -=t2-2なので,①は
-3x+ -)-2=0......
①
(t2-2) -3t-2=0
t2-3t-4=0
1020
...t=-1, 4
... (t+1)(t-4)=0
1
=-1で,両辺を倍すると
t=-1のときx+-=-1で, 両辺を倍すると
X
x2+x+1=0
これは (判別式)=12-4<0なので実数解をもたない.
1
t=4のときx+=4で、両辺をx倍すると
X
x2-4x+1=0
...x=2±√3
S
解と係

方程式 高次方程式

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

希

(2)のような割るやり方は、うまくいく場合といかない場合があります。
うまくいく場合の見分け方は簡単です。
解く方程式が"相反方程式"というものであるときはうまくいきます。
相反方程式とは、方程式内の係数に注目したときに
左右対称な位置の係数が等しいものを指します。
今回でいうと、次数が大きい順に並べた時に
x⁴ - 3x³ - 2x² - 3x + 1 = 0
なので1, -3, -2, -3, 1となります。
よって対称になっていて相反方程式となります。

まとめると、多くの場合は因数定理で解きます。ですが、相反方程式の場合は簡単に解くことができます。

らむ

ありがとうございます！！

もう1つ教えて頂きたいのですが、相反方程式の時は、Ｘ＝0で成り立たないことを確認したら、真ん中の次数のもの（今回だったらＸの二乗）で割れば上手くいくのでしょうか、、？？

希

最高次が偶数の場合は真ん中の次数のxで割ればいいです。

最高次が奇数の場合は少し難しいです。例えば
x⁵ + ax⁴ + bx³ + ax² + 1 = 0
という相反方程式を考えます。x = -1が解であることは分かるので、因数定理してみると
(x + 1){x⁴ + (a - 1)x³ + (b - a + 1)x² + (a - 1)x + 1} = 0
となります。2個目の{}の中身もまた相反方程式なので偶数のときの操作をすればよいです。

要するに
最高次が偶数･･･ 真ん中の次数のxで割る
最高次が奇数･･･ (x + 1)でくくる
となります。

らむ

とても分かりやすくありがとうございます!(´▽｀)
お陰様で理解できました！
受験勉強頑張れそうです！！