1.簡単なので答えのみ
(1)y'=10x (2)y'=2x-7(3)y'=2x^2-x-1(4)y'=-4x+5
(5)y'=(x-1)(x+2)+x(x+2)+x(x-1)=3x^2+2x-2
(6)dV/dr=2πrh
2.f'(x)=3x^2+5より、f'(0()=5
3.dy/dx=2x+2より、点(1,3)における接戦の傾きは、x=1を代入して、2・1+2=4
4.f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とおくと、
f'(x)=2ax+b
よって条件より、
f'(0)=2∴b=2
f'(1)=4∴2a+b=4∴a=1
f(2)=6∴4a+2b+c=6∴c=-2
以上より、求める関数f(x)は
f(x)=x^2+2x-2
5.dy/dx=4x+5より、点(-2,-2)における接線の方程式はy-(-2)=-3(x+2)∴y=-3x-8
6.
dy/dx=2x-3
点(t,t^2-3t)における接線の方程式は、
y-(t^2-3t)=(2t-3)(x-t)
∴y=(2t-3)x-t^2…①
これが点(3,-4)を通るので代入して、
-4-(t^2-3t)=(2t-3)(3-t)
∴-t^2+3t-4=-2t^2+9t-9
∴t^2-6t+5=0
∴(t-1)(t-5)=0⇔t=1,5
よって、求める接線の方程式は①より、
y=-x-1,y=7x-25
7.
(1)y=2x^3+3x^2+1
y'=6x^2+6x=6x(x+1)
よってy'=0とすると、x=-1,0
増減表は省略。x=-1で極大値2,x=0で極小値1をとる。
グラフは画像に超大雑把に貼っときます。
(2)y=-x^3-3x^2-1
y'=-3x^2-6x=-3x(x+2)
よってy'=0とすると、x=-2,0
増減表は省略。x=-2で極小値-5,x=0で極大値-1をとる。グラフは画像。
8.
f(x)=x^3+ax^2-9x+bがx=-1で極大値8をとる。
f'(x)=3x^2+2ax-9
条件より、f'(-1)=0,f(-1)=8が必要。
これより、3-2a-9=0∴a=-3
よってこのときf(x)=x^3-3x^2-9x+bなので、
f(-1)=8より、-1-3+9+b=8∴b=3
したがってf(x)=x^3-3x^2-9x+3
ゆえにf'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)
増減表(省略)より、たしかにf(x)はx=-1で極大値8をとるので、a=-3,b=3
極小値はf(3)=-24
9.
(1)
y=x^3-6x^2+9x-2(2≦x≦5)
y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-3)(x-1)
よって、増減表より、x=1で極大値2,x=3で極小値-2
なので、x=5で最大値18,x=3で最小値-2
(2)y=-x^3+3x^2+7(-1≦x≦3)
y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)
よって増減表より、x=0で極小値7,x=2で極大値11
x=3で7,x=-1で11をとるので
x=0,3で最小値7,x=-1,2で最大値11
10.2x^3-3x^2+2=0において左辺をf(x)とする。
f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)
f'(x)=0は異なる2解をもち、
f(0)f(1)=2・1=2
を満たすので、実数解の個数は1つ。
(2)