Question

りんご

(2)の解答の写真の赤い(がついている部分についてなのですが、ここに書いてあることは結果論そうなると思ってよいのでしょうか？

1
△(30点)
1
wを0でない複素数, x, y を w+= x + yi を満たす実数とする.
W
(1) 実数 R は R > 1 を満たす定数とする. w が絶対値 R の複素数全体を動くと
き, ry 平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ.
πT
(2)実数αは0<a< を満たす定数とする.w が偏角 α の複素数全体を動く
2
とき,xy 平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ.
26)
B

解答・解説
解説
y
I
y
+
=r,
2sina
2cosa
2sina
y
I
2cosa
2 sina
=1
-=1
4 sin² a
1
w=r(cos0+isine) (r>0,0≦0<2m) とおく.
より
1
1
1
(cos 0-isin0)
よって,
I
2 cosa
2 cosa
+
2 sina
2
4 cos² a
>0であるから
W r(cos+isine)
w+
..
+1/2=(rt-coso+i(r-sino
(1) r=Rのとき
I=
w
x=(r+1)coso, y=(-1)s
OS
R+1/2)cose,y=(R-1/2)sino
1
R
R>1より,R+≠0, R- - 0 であるから
(+
エ
2cosa
y
2sinα
>0
したがって, 求める軌跡は
2
y²
双曲線
=1の
4cos2a
4 sin² a
+
2cosa 2 sina
y
->0 の部分
すなわち
x²
y²
双曲線
=1のx≧2cosαの部分
4 cos² a
4sin'a
(答)
[解説
何が変数で何が定数であるかを間違わないように. (1) は絶対値が定数 偏角が変
数, (2) は絶対値が変数, 偏角が定数である.
&
x=acos0+bsin0, y=ccos0+dsin0(ad-bc≠0)) と表される点の軌跡は, これ
らを cose, sind の連立方程式とみて cosd=f(x, y), sin0=g(x, y) と変形し,
cos20+sin20=1に代入する。 本間の0の範囲は0≦0 <2であったが, 0に制限が
つけば cosl, sin0 に条件をつける。例えば00ならcoinより
f(x,y)≧0g(x,y) ≧0の条件を付加する
(2)>0の条件をr=
I
+
y
->0……① として表現したが,
2cosa 2 sina
R
I
y
=cos 0,
=sin0
1
1
R+
R-
R
R
これを満たす 0の存在条件から
y²
+
=1
R+
R-
ゆえに, 求める軌跡は
x²
楕円
y²
++
=1
(答)
1
r
である.それは,r' 1=1
811
y²
=1⇔
-=1の条件のもとでは①が成立す
れば②は成立する. 逆に②が成立すれば①も成立するので,どちらか一方だけで
4cos2a 4 sin² a
い
①は傾きが負の漸近線の上側の領域だから, 答えは双曲線の右半分という表現に
した.
(2)0αのとき
(R+1) (R-1)
x=(r+-)cosa.y=(-1) sina
0<a< より cosa≠0, sina≠0 であるから
r+
1
I
y
r-
r
Cosa
r
sina
y
2 cosa 2 sina
>0.....② として表現する必要はないだろうか? 結論は不要
-124-
125-

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

いいえ
結果論なら、両方変数として扱うことになります
この解答のようには解けません

(1)wは絶対値R(RはR>1の定数)で
複素数全体を動くのだから、
絶対値は書いてあるまま定数、
偏角は変数です
偏角が変わることで複素数wが変化するわけなので

(2)はその逆ですね
これも、書いてある通りです

りんご

すみません、こっちの赤い(の部分です。言葉足らずで誤解を招いてしまい、申し訳ないですm(_ _)m

和

ごめんなさい、私が読み違いました

そうなると、質問の意図をどう汲めばよいか
難しくなってきました
「結果論そうなる」の意味が
だんだんわからなくなってきました

ふつうは、結果論として1/r>0が不要、ではなく、
求める条件を同値変形していくことで、
つねに必要十分な条件を書いていきます

ここでもそのようにします
少なくとも本問では「結果論」ではありません

りんご

なるほど！納得しました！！丁寧に教えてくださりありがとうございました！

りんご

すみません、この赤い部分の変形はどうやってるのか分からなくなってしまいました。教えていただければ幸いですm(_ _)m

和

双曲線を描けばわかりそうです

りんご

なるほど！理解しました！追加の質問にも答えていただきありがとうございました！！