134
演習
例題
140 方程式の整数解 (1) ･･･ 絞り込み1
やる
00000
(1) 方程式 2x+3y=33 を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。 [類 福岡工大]
(2) 方程式x+3y+z=10を満たす自然数x, y, zの組の数を求めよ。 [法政大
指針
このような不定方程式の自然数の解を求める問題では,
が 自然数 (正の整数)
→→
>0,
(1) 方程式から 2x=3(11-y)
基本 135 136
≧1 という条件を活かし、値を絞る。
2と3は互いに素であるから, 11-yは正の偶数で,yの値が絞られる。
x, yは自然数であるから x0y > 0
(2)係数が最大のyについて解き, x≧1,z≧1であることを利用すると
3y=10-(x+z)≦10-(1+1)=8 つまり 3y≦8
をすべて
(神戸)
カード
4章
2 関連発展問題(方程式の整数解)
ードの
る。
る。
蹊大 ]
また、
大
36
解答
→
これからまずyの値を絞る。
CHART 方程式の自然数解
不等式にもち込み 値を絞る
(1) 2x+3y=33から 2x=3(11-y)
①
x,yは自然数, 2と3は互いに素であるから, 11-yは
正の偶数で
yの値はそれぞれ
11-y=2,4,6,8,10
y=9, 7, 5, 3,1
② または②' を①に代入してxの値を求めると
2'
(x, y)=(3, 9), (6, 7), (9, 5), (12, 3), (15, 1)
別解 ①で2と3は互いに素であるから, kを整数とすると
x=3k>0,y=-2k+11>0.
A より
この範囲にある整数は k=1,2,3,4,5
これをAに代入すると, 上と同じ解が得られる。
(2) x+3y+z=10から 3y=10-(x+z)≦10-(1+1)
したがって 3y≤8 +1301
+$7
yは自然数であるから
y = 1, 2
3y=33-2x とすると
絞り込みが面倒。
xの値は,② を ①に代
入するのが早い。
11-y=2(y=9) のとき
2x=3.2
11-y=4(y=7)のとき
2x=3.42
11
から, x=6 など。
2
(≧(1)
Jei
指針
★ の方針。
x1, 2≧1であるから
x+z1+1
って
[1] y=1のとき, x+z=7 を満たす自然数x, zの組は(x+2)-(1+1)
(x, z)=(1, 6), (2, 5), (3, 4),
(4, 3), (5, 2), (6, 1)
E-
[2] y=2のとき, x+z=4を満たす自然数x, 2の組は
(x, z)=(1, 3), (2, 2), (3, 1)
6+3=9
2)
向きが変わる。
Joi
34-1
以上から、 求める組の数は
ありがとうございます！