微分の不等式について質問です。すみません、同じ形式の問題で、質問が２つあります💦

Question

下の写真の不等式が、x>0であるとき成り立つように証明する問題で、0より大きい事を証明するには、この式を関数として考えて、この関数の最小値が0より大きくなるようにしなければならないという事ですか、、？

また、他の不等式の微分の問題で、16x^3+30x^2<3x^4+900不等式が全てのXに対して成り立つ事を証明しろ。とあったのですが、これも同じように右辺を0にしてからf(x)=-3x^4+16x^3+30x^2-900と関数として考えていくのが、なぜかわからないです、、、😭

よろしくお願いします、、、🙇‍♂️

和 · Accepted Answer

> 16x³+30x²<3x⁴+900不等式が全てのXに対して成り立つ事を証明しろ。とあったのですが、これも同じように右辺を0にしてからf(x)=-3x⁴+16x³+30x²-900と関数として考えていくのが、なぜかわからないです

・3次以上になってくると、
不等式のまま処理するのは難しくなってきます
関数のグラフの助けを借りて求めたりします

・f(x)=16x³+30x², g(x)=3x⁴+900とおいて
y=f(x)のグラフがy=g(x)のグラフより下に来るような
xの範囲を求めてもよいのですが、
2つ曲線を書かなくてはならず、面倒です

・まず移項して-3x⁴+16x³+30x²-900<0として
f(x)=-3x⁴+16x³+30x²-900とおいて、
y=f(x)のグラフがx軸より下に来るようなxの範囲を
求める方針なら、曲線は1つ描けば済みます

> 不等式が、x>0であるとき成り立つように証明する問題で、0より大きい事を証明するには、この式を関数として考えて、この関数の最小値が0より大きくなるようにしなければならないという事ですか、、？

上の回答と同様に、不等式を
左辺-右辺>0と変形してf(x)=左辺-右辺とおき、
y=f(x)のグラフの話にするのが楽です

こちらは「x>0の範囲でf(x)>0」を示すようなので、
y=f(x) (x>0)の最小値が0より大きいことを示す、
でいいですね

長飛丸とら · Answer

１つ目

x>0であるときという条件のもとでしたら、
x≦0の範囲でグラフはマイナスになっててもOKとなるので、
単純に最小値を求めればよいとうものではないです。

x＞0の範囲で増減表を作成して、そのなかの一番下の部分になるところが０より大であることを言う必要があります。

ふたつめですが、４次関数なので基本的にW型かM型になることが多いです。
不等式の０より大きいちいさいは基本的にx軸より上が０より大きい場所、下が０より小さい場所になります
全てXに対してということなのでW型になるはずです。その極小値がマイナスにならなければ、グラフがx軸を横切ることはないので
証明できるという流れです。