Question

り

これって何分の1公式が使えますか？
見分け方のコツはありますか

S
S
y=f(x)
y=f(x)
x)
日本 例題 211
放物線とx軸の間の面積
次の曲線, 直線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
y=x-x-2
CHART
面積の計算
①
A
331
00000
(2)y=-x+3x(-1≦x≦2), x=-1, x=201
ISOLUTION
&
まずグラフをかく
積分区間の決定
②上下関係を調べる
この区間で≦0
(1) まず, x-x2 = 0 の解を求める。 → x=-1,2
よって、積分区間は-1≦x≦2
公式
6
(xa)(x-3)dx=-1 (B-α)を用いると計算がスムーズ。
(2)(1)と同様に, -x2+3x=0 から x = 0, 3
1≦x≦0 y≦0,0≦x≦2x≧0
積分区間は-1≦x≦2
p.330 基本事項 1
よって、積分区間を分けて計算する。
注意 面積を求めるために解答にグラフをかくときは, 曲線とx軸との上下関係と、交点の
x座標がわかる程度でよい。
(1) 曲線とx軸の交点のx座標は, 方程式 x2-x-20 を解いて
(x+1)(x-2)=0
よって
x=-1,2
-1≦x≦2 において y≦0 であるから, 求める面積Sは
s=S_{(x-x-2)}dx
=-S_(x+1)(x-2)dx
=-(-) (2-(-1))-
2
(2) 曲線とx軸の交点のx座標は, 方程式 -x2+3x=0 を解いて
x(x-3)=0|必要とよって x=0,3
-1≦x≦0 において y≦0,0≦x≦2 において y≧0 である
から 求める面積Sは
s=${-(-x2+3x)}dx+f(-x+3x)dx
yy=xx2
-1 0
2 x
7章
O
S
25
積
62
[-
3.
X
y=f(x)
x=
b
2つの曲
=g(x)
JO
x3
3
xC
+
x²
3 2
3 2
8
y=-x2+3x
--(-3-3)+(-3+6)=31
PRACTICE 211
次の曲線, 直線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) y=x²-2x-8のである。
y=x+3(0≦x≦1), y軸, x=1
(2) y=-2x2+4x+6
(4) y=x2-4x+3(0≦x≦5), x=0, x=5

338
基本 例題 215
3次関数のグラフと面積
0000
関数 y=2x-x-2x+1 のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ
CHART & SOLUTION
面積の計算
まずグラフをかく
① 積分区間の決定
② 上下関係を調べる
3次関数のグラフとx軸の交点のx座標を求めて, 積分区間を決める。
3次関数のグラフと面積の問題でも、 方針は2次関数の場合と変わらない。
→交点のx座標は 2xx-2x+1=0 の解。
642
面積を求めるために解答にグラフをかくときは, 曲線とx軸との上下関係と、交流の
x座標がわかる程度でよいから,微分して増減を調べる必要はない
曲線 y=2x-x2-2x+1とx軸の交点のx座標は,方程式
2x-x²-2x+1=0 の解である。
f(x)=2x-x²-2x+1 とすると
よって
2-1-2 11
f(1)=2-1-2+1=0 因数定理
f(x)=(x-1)(2x2+x-1)
組立除法により
=(x-1)(x+1)(2x-1)
y
1
f(x) = 0 を解いて x=1, −1, 1/2/
ゆえに, 曲線は右の図のようになるか
ら, 求める面積Sは
=(2x-1)(x-1)
-1 0
12
1
1 x
s=S (2x2x+1)dx
+f(2x-x2x+1)}dx
2 1-1
1-10
2
あるいは
x/0+) f(x)=x²(2x-1)-(2x-1
基本 例題 21
曲線 y=-x
(1) 点Aにお
(2) 曲線 y=
CHART &
(2) まず 37
3次曲線 y
f(x)-g(x)
(ここで, B
解答
(1)y'=-3
すなわち
(2) 曲線と
-x3+5x
ゆえに
s=S_{
-1-
=
「x4x3
x²+
x2+x
x(d
2 3
3
=2{
\(*)
=(2x-1)(x+1)(x-
としてもよい。
2つ目の定積分は、一を
外に出すと、1つ目の
積分と被積分関数が
[F(x)] [FW]
-21/12(12)-1/2(2)-(2)'+/2/11/12+1/3-2)-(1/2-1/3) 180-180
71
=
48
→
=F (c)-F(a)-(F(6)-Fd
=2F(c)-F(a)-F
定積分は分数計算など煩雑な計算が多い。 解答の (*) のようにF (x)に代入するな
まとめて, 計算の工夫をする。
PRACTICE 215Ⓡ
次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1)y=x-5x2+6x
22
における夜に入
INFOR
2
s=S_
るとス
s=S
==
PRAC
曲線
た部分

放物線 y=x2 と円x2+v
基本 例題 217 放物線と円の面積
求めよ。
CHART & SOLUTION
両端とする円の2つの弧のうち, 短い弧と放物線で囲まれる図形の面積Sを
+y-2)=1が異なる2点で接する。2つの接点を
00000
基本 213
面積を直接求めるのは難しいため, 図のよ
うに、直線と放物線で囲まれた部分の面積
を補助的に考え、三角形や扇形の面積を足
し引きする。
R
R
R
P Q
R
P Q
0
0
0
PQと放物線
0
S
三角形の面積と扇形の面積は公式を, 直線
と放物線で囲まれた部分の面積は積分を
用いる。
が囲む部分
ARPQ
扇形RPQ
である。
放物線と円の方程式からxを消去すると y+(y-22-1
=1
3
整理すると
y2.
9
16
-=0
よって
0=(-a)
ゆえに
y=
34
3
3
y=2のとき
x=+
2
y=x2
まずは, 放物線と円の共
有点の座標を求める。 x
を消去し,yの2次方程
式を考える。 (p.155 重要
例題 95 参照 )
y=x2y=2を代入。
3
x² = から x=±
R
√√
(1)Sx-2/dx
CHART & SOL
絶対値
場合に
まず、絶対値記号を
場合の分かれ目で被種
x-2
(2)|x-4|=|(x+2)
→ 積分区間 0≦x
解答
(1) 1≦x≦2 のとき
2≦x≦4 のとき
flx-2/dx=Si-
=
--[
>}-=
基本 例題 218
(1)lx-2|=
よって, 放物線と円の共有点の座標は
() ()
2
5-4
4 R
求める面積Sは,図の赤く塗った部
分の面積である。
また,図のようにP,Q,R をとる。
Q
P
3
4!
√3
2
∠QRP=-
であるから
√3
732
0
-32
1
4
x
132
RPQの底辺は3,
高さは1/12
中心角の扇形
(2)|x2-4|=|(x+2
0≦x≦2 のとき
2≦x≦4 のとき
Slx2-4\dx
={(x2-4)}
4x
=14
--2118-8)+
PRACTICE 218
次の定積分を求めよ
x²-2x
2
3√3
4
3
=(x+1/
(+
1
・・√3..
2
・12.
-πT
2 2
3
π
4
3
半径,
の面積は12/10
PRACTICE 217 3
連立不等式 x2+y'≦4, y≧x2-2 の表す領域の面積を求めよ。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

最初の211(1)で1/6公式を使っている以外の
そこにある問題では、
実用上使えないと思ってよいです

最後の問題の立式の一部は1/6公式です
これは、放物線と横線PQの囲む面積で、
最初の問題と同じ状況だからです