152番も153番も結局のところ、扱っているのは力学的エネルギーの変化量なため、考えなくても求められます。
逆に言えば、考えても求められます。
おそらく、位置エネルギーの基準点をうまく取れなくてごっちゃになっているのか、滑り降りた後の位置エネルギーを取り間違えているかではないでしょうか。
153番の場合、位置エネルギーを考えたら式は以下のようになります。
基準点はBの最初の高さを取り、Aの重力による位置エネルギーUaとする。
まず、一番最初の力学的エネルギーをE0、滑り降りた後のエネルギーをEとすると
ΔE=|E0-E|が成り立ちます。
E0は位置エネルギーのみですから、
E0=Ua+0（Bの位置エネルギー）
Eは運動エネルギーと位置エネルギーをとってあげると
E=1/2mv^2+1/2Mv^2+mgl+(Ua-Mglsinθ)
よって、差をとってあげると
ΔE=1/2mv^2+1/2Mv^2+mgl-Mglsinθ
となり、参考書の解答と同じになります。
Physics
Mahasiswa
どうして153番では1番最初の位置エネルギーを考えないのですか？152番では最初の位置エネルギーをUaと置いているので、153でもそのようにやろうと思ったらうまく行きませんでした。
[知識]
第Ⅰ章
運動とエネルギー
152. 連結された物体と摩擦 図のように,粗い水平 A
面上に置かれた質量Mの物体Aが,なめらかな滑車
を介して,質量mの物体Bと軽い糸でつながれている。
Bを静かにはなすと, Aが距離Dだけすべり, 水平面
M
10000000
D→
B
m
上に固定された軽いばねと衝突して, ばねをxだけ押し縮め, 物体A,Bの運動が停止
した。 Aと面との間の動摩擦係数をμ, 重力加速度の大きさをg とする。
Aがばねと衝突する直前の, 物体AとBの運動エネルギーの和と速さを求めよ。
(2)Aがばねと衝突してから停止するまでの間において, ばねの弾性力による位置エ
ネルギーの変化を, m, M, D, x, μg を用いて表せ。
思考 記述 三角比
(和歌山大
改)
20.M
A
B
m
153. 動摩擦力と仕事図のように,水平とのなす角が
0の粗い板の上に、質量Mの物体Aを置き, 軽いひもの
一端をAにつなぐ。 ひもは板と平行に張って滑車にかけ,
ひもの他端に質量 m (m <M)の物体Bを鉛直につり下
げる。 この状態から物体Bを静かにはなしたところ, 物
体Aは板に沿って下向きにすべり始めた。 Aが板の上を
距離すべりおりたときについて,次の各問に答えよ。
ただし,重力加速度の大きさをg, 板と物体Aとの間の動摩擦係数をμ'とし, 滑車はな
めらかに回転できるものとする。
(1) 距離すべりおりたときの物体Aの速さを”とする。 A, B 全体の力学的エネル
ギーの変化量 4Eを, M, m, 1, 0, vg を用いて表せ。
(2) 物体Aの速さ”を,M,m, 1, 0,μg を用いて表せ。
ach
(3)この運動における物体Aの力学的エネルギーの変化量 ⊿EAは,正,負, 0 のいず
れか。 理由とともに答えよ。
( 12. 奈良女子大改)
例題10
これから、x=
μmgl
μmg
k
のとき,Kは最大値をとり、速さが最大となる。
152. 連結された物体と摩擦・
解答 (1) 運動エネルギーの和: (m-μM) gD
速さ:
2(m-μM) gD
M+m
(2)(m-μM)g(D+x)
事の分だけ変化する。 Bは高さの変化する運動をするので, 重力による
位置エネルギーは, 運動の前後で変化する。 ばねに衝突して停止したと
き,速さは 0 であり, AとBの力学的エネルギーの和は, ばねの弾性力
指針 AとBの力学的エネルギーの和は,Aが動摩擦力からされた仕
による位置エネルギーと重力による位置エネルギーのみである。
解説 (1) Bの最初の高さを重力による位置エネルギーの基準とし,
Aの重力による位置エネルギーを UA とすると,最初のAとBの力学
的エネルギーの和は UA となる。衝突する直前のBの重力による位置
エネルギーは-mgDであり,このときのA,Bの速さを”とすると,
衝突直前の力学的エネルギーの和は1/12M+1/2mU
1mv+ UA-mgD で
ある。また,Aが受ける垂直抗力は Mg なので、動摩擦力の大きさは
μMg である。 Aがばねに衝突する直前まで運動する間に,動摩擦力
がAにする仕事は, -μMgDとなり,この分だけ力学的エネルギーは
料金
変化する。
(12/2M+1/2m+Va-mgD)-Ux=-MgD
糸の張力は,Aに正,
Bに負の仕事をするので,
AとBを一体とみなすと,
その仕事は0となる。
AとBは静止の状態か
ら運動を始めたので, 最
初の運動エネルギーはい
ずれも0である。 また,
Aの運動は高さが変化し
ないので,Aの重力によ
る位置エネルギーは一定
である。 なお, AとBは
連結されて運動している
ので,速さは等しい。
動摩擦力は,Aが運動
する向きと逆向きにはた
らくので,負の仕事をす
る。
AとBの運動エネルギーの和は,
-Mv2+1/21mo²= (m-μM)gD
これを”について整理すると,
v=
2(m-μM)gD
M+m
2)運動が停止するまでに動いた距離はD+xになり,そのときの運
動エネルギーは0である。このときの弾性力による位置エネルギーを
Uとする。(1)と同様に、AとBの力学的エネルギーの和は,動摩擦力
からされた仕事の分だけ変化するので,
{U+Ux-mg (D+x)}-U^=-μMg(D+x)
U= (m-μM)g(D+x)
(2) 停止したとき, 速
さが0なので運動エネル
ギーは0,Bの位置エネ
ルギーは-mg (D+x)
となる。 また, 停止する
までに動摩擦力がした仕
事は,μMg(D+x)
ある。
8
等しい。
153. 動摩擦力と仕事
19.
一本に
A
引
の
解答
(1)
(M+m)+(m-Msin0) gt
2
「2(M(sin0-μ'cos0)-m)gl
(2)
(3) 解説を参照
M+m
指針 (1) (2) 物体A, B 全体の力学的エネルギーは, 物体Aが動摩擦
力からされた仕事の分だけ変化する。 (3) 物体Aに仕事をする力は,重
力,動摩擦力,ひもの張力である。このうち, 保存力以外の力は動摩擦
力と張力であり,これら2つの力はAに負の仕事をする。
解説 (1) 物体A, B 全体の力学的エネルギーの変化量⊿E は, それ
ぞれの運動エネルギーの変化量,および位置エネルギーの変化量の和
であり、動摩擦力がAにした仕事に等しい。
図1のように,物体Aが板の上を距離すべりおりたとき、物体
Bは鉛直上向きに距離1上昇する。このときのA,Bの速さがひ
なので,Bをはなした直後からのA,Bの運動エネルギーの変化
量は、それぞれ212Mv, 1/12m2である。また,Aの高さはlsin0
減少し,Bの高さは1増加するので,A,Bの重力による位置エ
ネルギーの変化量はそれぞれMglsine, mglである。 したがっ
て, A, B 全体の力学的エネルギーの変化量⊿Eは、
AE=212M²+/23mv+(-Mglsin0) + mgl
=1/12(M+m)+(m-Msin0)gl…D
(2) 動摩擦力の大きさをF, 垂直抗力の大きさをNとすると, 物体
Aにはたらく力は,図2のように示される。 板に垂直な方向の力
のつりあいから,N = Mg cose なので
F=μ'N=μ'Mgcose
動摩擦力の向きはAの運動の向きと逆であり、動摩擦力がAにす
る仕事は,Fl=μ' Mglcoseとなる。この分だけ, A, B全体
の力学的エネルギーが変化するので
⊿E=-μ'Mglcose ... ②
式①、②から、
(M+m)v+(m-Msin0)gl=-μ'Mglcost
これを解いて,
v²=
2{M(sine-μ'cost)-m}gl
M+m
(1)ひもの張力は
負の仕事, Bに正の他
事をし、その和はと
ある。 したがって, A.
全体の力学的エネルギー
を考えるとき、張力がす
ある仕事は考慮しなくて
い。
図1
静止
A
v
0
Isin
静止
○重力による位置エネル
ギーの変化量は,基準の
高さに関係なく,(物
の質量) × (重力加速度
× (高さの変化量)である
図2
N
張力
日
Mg
F
Mg cost
0なので,
2{M (sin0-μ'cost-m}gl
M+m
00
(3)物体Aには,保存力である重力, 保存力ではない動摩擦力とひもの
90
(3)では, A のみの
学的エネルギーを考え
ひもの張力がする
仕事を考慮する必要が
垂直抗力がする仕事
はなので,考慮しな
てよい。
154.
解答
指
にな
Bは
者の
的
■解
(2
Answers
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