Question

nyoung

数学Ⅲ、不定積分で質問です
写真の問題で、なぜ部分分数にするのかわかりません…
なんとなくはわかるような気もするのですがはっきとしなくて…
教えてください🙇‍♀️

(2) √x + 1 =t とおくと
よって
dx
x=t2-1, dx=2tdt
Sxxxx+1 = √(12-11)t dt
ST
xx+1
2
- S₁₂² 1 dt
-1
ds-
1
-1
=log|t-1|-log|t+1|+C
t-1
=log
+C
t +1
√x+1-1
=log
+C
√√x+1+1

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ユン

分母がt²-1のままでは、積分がしづらいです
t²-1=sに表現しても2t=ds/dtになるので難しいです
でも部分分数にすると、1/t-1, 1/t+1の形になるので、積分結果がlnになあり、積分がしやすくなります

nyoung

なるほどです
ちなみに1/t-1はなぜそのまま積分してlogの形になるのでしょうか、？

ユン

log(t-1)の微分結果は1/(t-1)です。積分は微分の逆なので1/(t-1)を積分したらlog|t-1|+Cになります

nyoung

何度もすみません、では1/t^2-1のときはなぜ
log|t^2-1|
にしてはいけないのでしょうか…
頭がごっちゃになっていて💦

ユン

t²-1が合成関数だからです
log(t²-1)を微分した結果は、合成関数の微分方によって、2t/(t²-1)になります
つまり、2t/(t²-1)を積分した結果がlog|t²-1|になり、1/(t²-1)の積分は2番目の写真のように積分しづらいです

nyoung

ありがとうございました🙇‍♀️