Question

りんご

高校数学数3の極限についてで、グラフが上に有界で単調増加し、かつ常に実数を取るということが言えたら、そのグラフは収束するというのは証明なしで使って良いのでしょうか？教えてください

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

フラッグ

定理
(A)上に有界な単調増加数列は収束する。
(B)下に有界な単調減少数列は収束する。
この定理は、大学の微積分の講義で学ぶ定理であるため、大学入試で無断で使ってよいというわけにはいきません。
(これを認めたら、例えばロピタルの定理の無断使用なども許すことになる❗️)ただ、参考に、上の定理の使用例をご紹介します。もし、この定理でなければ解けない問題を出題するとしたら、ヒントとして、…は用いてよい、というふうに書かれるはずです。入試での出題例を御所望ならコメントで送ります。

りんご

なるほど！とても詳しく教えて頂きありがとうございます！もし宜しければ、入試での出題例を見せて頂きたいですm(_ _)m

フラッグ

次の問題を、自力で解くのではなく、
「単調であること」「有界であること」がどこに出ているか、という点に注意して眺めてみて下さい。
(1)は無視していただいても構いません。

フラッグ

すみません、うっかりしてました。(1)も無視しないで読んでください🙇‍♀️

りんご

わざわざ見つけていただきありがとうございました！

りんご

すみません！この定理を認めたらロピタルの定理も認めないといけないのは何故ですか？？教えて頂けたら幸いですm(_ _)m

フラッグ

回答の冒頭に述べた定理は、ロピタルの定理と同じく、大学の講義や専門書で扱うものであり、高校数学の教科書には出てこないのが通常です。ロピタルの定理を(答えの見当をつけるor検算くらいならともかく)記述式の問題の答案に用いてはいけないとされているのはこの為です。単調かつ有界な数列が収束するという定理も、高校教科書には出てないし、そもそも「有界」という用語すら載ってません。そんな定理を、入試で勝手に使用してよいとしたら、ロピタルの定理を使うのを認めないのは理不尽ではありませんか？長くなってしまいましたが、以上のような事情であることをご了解いただきたいです。

りんご

そうなのですね！理解しました！丁寧に対応して頂きありがとうございました！