Question

rika． 無浮上

?の部分が分かりません。解説お願いします🙇

112 第6章 微分法と積分法
*412 関数 y=x(x-a)' の増減を次の各場合について調べ, 極値があればその
値を求めよ。ただし、aは定数とする。
(1) a<0
(2) a=0
(3) a>0
例題
3次関数が極値をもつ条件
22
関数f(x)=x-3kx2+3kx+1が極値をもつように, 定数kの値の
範囲を定めよ。
考え方 f(x)が3次関数のとき, f(x)は2次関数である。
f(x)が極値をもつ⇔ 2次方程式(x)=0が異なる2つの実数解をもつ
解答 f(x)=x-3kx²+3kx+1 を微分すると
f'(x)=3x²-6kx+3k
f(x)が極値をもつのは、2次方程式 3x²-6kx+3k=0が異なる2つの実数解を
もつときである。この2次方程式の判別式をDとすると
=(-3k)2-3-3k=9k-9k=9k(k-1)
異なる2つの実数解をもつのはD>0のときであるから
9k(k-1)>0
これを解いて <0, 1<h
【?】 f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつとき, f(x) が極値をもつといえる
のはなぜだろうか。 「f'(x) の符号」に着目して考えてみよう。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

n次関数f(x)において、
　x=☆で極値をとるとは
　☆の前後でf'(x)の符号が変化する
ということです

rika． 無浮上

理解できました！いつもわかりやすい解答をありがとうございます🙏🏻

Answer 2

つちだ

f'(x)は任意の実数xにおける、f(x)のグラフの傾きを表していると考えると

f'(x)>0なら、傾きが正なので増加
f'(x)<0なら、傾きが負なので減少

f'(x)=0なら、傾きが0なので、増加でも減少でもない。
簡単言えば、グラフの傾きが平坦（x軸に並行）になります。

グラフが平坦になるのは、
増加していたグラフが減少に切り替わるか
減少したいたグラフが増加に切り替わるか　のどちらかで、増減が切り替わる時のyの値を”極限値”と呼んでいます。

f'(x)=0となるxがあるということは、グラフがそのxで傾きが0になる
つまり増減が切り替わる瞬間があるということです。

f(x)が三次関数だとf'(x)は二次関数になるので、f'(x)=0になる実数解は２個、1個、0個
2個の時は、増→減と減→増が異なるxで1回ずつ
1個の時は、増→減と減→増が同じxで1回ずつ
0個の時は、増減が切り替わるxがない、つまり単調に増加・減少

1個の時は注意が必要で、同じxで増→減と減→増が起きるので、増→減→増(減→増→減）となり
結果的に増減が切り替わらないので極値はありません。

今回の問題は、極値を取り得る範囲を調べなければならないので
f'(x)=0になる実数解は２個である必要があるため、f'(x)の判別式D >０となる範囲を調べればいいということになります。

rika． 無浮上

理解できました！丁寧な解答をありがとうございます🙏🏻