304
基本 例題 30
整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
CHART & THINKING
整数解の組の個数 ○と仕切りの活用
p.294 基本事項 3.基本29
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個の〇と2個の仕切りの
順列を考え、仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x,y,zとする。
〇〇〇一〇〇一〇〇には
一〇〇一〇〇〇〇〇には
例えば
がそれぞれ対応する。
(x,y,z)=(3,2,2)
(x, y, z)=(0,25)
(2)x,y,zが正の整数であることに注意。(1)の考え方では0となる場合も含むから
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき, 0 であってもよい X≧0, 0, Z≧0 の整数解の場合 ((1) と同じ) に帰着させ
る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, zに割り振ってから,残った7個の
○と2個の仕切りを並べることと同じである。
また,別解のように,10個の○と2個の仕切り | を使う方法でも考えてみよう。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列
に並べる順列の総数と同じであるから
9C7=9C2=36 (1)
(2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X = 0, Y ≧ 0,Z≧0
このとき, x+y+z=10 から
別解 求める整数解の組の
個数は、3種類の文字
zから重複を許して7個取
る組合せの総数に等しいか
ら 3H7=3+7-1C7=9C7
要 例題 31
次の条件を満
(1) 0<a<b
CHART &
大小関係が条
(1)条件を満た
ら4個の数字
(2) (1) とは違
(2, 2, 2, 2
それらの数
重複組合せの
A=a, B=
(a, b, c,
(A, B, C
するから,
(1) 1, 2,
小さい順
まる。
(2)0,1,
=9C2=36(個)
い順に
よって
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10
←x=X+1, y=Y+1,
よって
X+Y+Z=7, X≧ 0, Y ≧ 0, Z≧0
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個
解 10個の○を並べる。
z=Z+1 を代入。
【別解 A
このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
入れ A|B|C
例えば
としたときの, A, B, Cの部分にある○の数をそれぞれx,
y, z とすると,解が1つ決まるから 9C2=36 (1)
PRACTICE 30°
00100000
は
1000
(x,y,z)=(253)
を表す。
(1)x+y+z=9を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2)x+y+z=7 を満たす正の整数解の組(x,y,z)は何個あるか。
条件 0
である
よって
選べ
した
PRAC
次の
(1) (
304
基本 例題 30
整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
00000
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
CHART & THINKING
整数解の組の個数 ○と仕切りの活用
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて,x,y,z
p.294 基本事項 3.基本29
の異なる3個の文字から
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7 個のと2個の仕切りの
順列を考え、 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x, y, zとする。
例えば 〇〇〇一〇〇一〇〇には
(x, y, z)=(3,2,2)
(x,y,z)=(0,25)
一〇〇一〇〇〇〇〇には
がそれぞれ対応する。
(2)x,y,zが正の整数であることに注意。 (1)の考え方では0となる場合も含むから
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解の場合 ((1) と同じ)に帰着させ
る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, z に割り振ってから, 残った7個の
○と2個の仕切りを並べることと同じである。
また,解のように,10個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。
合
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列
に並べる順列の総数と同じであるから
9C7=9C2=36 (個)
(2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X≧0, Y, Z≧0
このとき, x+y+z=10 から
別解 求める整数解の組の
個数は, 3種類の文字、
zから重複を許して7個取
る組合せの総数に等しいか
ら 3H7=3+7-1C=C7
=9C2=36 (個)
←x=X+1,y=Y+1,
z =Z+1 を代入。
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10
よって
別解
X+Y+Z=7, X≧ 0, Y ≧ 0, Z≧0
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから、 (1) の結果より 36個
10個の○を並べる。
このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
入れ A|B|C
例えば
としたときの, A,B,Cの部分にある○の数をそれぞれx,
y, zとすると,解が1つ決まるから C2=36 (個)
は
00100000
1000
(x,y,z)=(2,5,3
を表す。
PRACTICE 303
(1) x+y+z=9を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2)x+y+z=7 を満たす正の整数解の組 (x,y,z)は何個あるか。
重
