Question

R

最初の恒等式ってなんですか？
どこから出てきたんですか？

問題 4-3
2-1n(n+1)(2n+1)
難
を証明せよ。 ただし、21- k-1/2n(n+1)は既知としてよい。
N.
(九大・他)

問題 4-3 の解答
恒等式
(k+1) -k=3k2 + 3k+1
その両辺にをつけると
»
k=1
n
{(k+1)3k3} = (3k² + 3k + 1)
=
k=1
n
n
= 3k² + 3k+1
k=1
k=1
k=1
n
=
3.
3Σk² + 3• ½n(n + 1) + n D
k=1
ここで. ①の左辺は
n
k=1
{k+1)=(n+1)-13←方針 参照
であるから,これを① に代入すると,
第4章 公記号

:.
(n+1)=3+1/2(+1)+←宮についての方程式ができた
これより,
k=1
3
3Σk² = (n + 1)³-n(n + 1)− (n + 1) ←n(n + 1), n
k=1
=
(n+1){2(n+1)^-3n-2} // (n+1)でくくる
11 / (n +
(n + 1)(2n² + n)
n(n + 1)(2n+1)
=
n(n
Σk² = mon(n+1)(2n+1)←両辺を3で割った
k=1
2

σ

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ものぐさ

階差の形にして和をとると綺麗に消えるので、数列の和を求めるときには上手く階差数列をつくると良いってアプローチはありがちで、そこから考えるってのもあるのですが半分知識ですね。
そもそもメジャーな公式は教科書に証明も載ってるので知っとけってのが大学の意図だと思います。

R

ということは覚えるしかないってことですか
ありがとうございました

ものぐさ

厳密に覚える必要なくて
整数mのとき
Σkのm乗の公式をだしたいときには
Σkのm-1乗までの公式を知ってる前提なら
[(k+1)のm+1乗-kのm+1乗]って形をつかえば

[(k+1)のm+1乗-kのm+1乗]=展開した形
展開した形は必ずkの整数m次の多項式になるから
両辺のシグマとると
めんどくさいけど公式が
(n+1)^(m+1)-1=なんとか倍のΣk^m+Σ(m-1次以下の多項式)
の形になるって流れだけ何となく覚えときゃいいので

k+1のナントカ乗とkのナントカ乗の差をとりゃいいなってなんとなく覚えときゃいいだけです

違和感覚えるかもしれないけど階差でパタパタ消えていくので初見で気付けとはいわないけど割と自然な操作です

R

ありがとうございました！