Question

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

（1）についてです。
二次方程式の解が虚数のとき、必ず解は2つあって共役の関係じゃないんですか？

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虚安
iを虚数単位として、以下の設問に解答せよ.
(1) 虚数 α, β を係数にもつ2次方程式
z2+az+B=0
この
かね
が異なる虚数解 w, we をもつとする.このとき, 係数が実数であり, W1,
wz を解にもつ4次方程式
x² + az³ + b²² + cz+d=0
をつくる、α,β およびそれと共役な複素数α, B を用いてa, b, c, d を
表せ.
(2) 方程式
22+
1+(2-√3)i√3+i=0
(立命館大)
の解を求めよ.
一精講
解です。
(1) 4次方程式の係数は実数ですか
ら、虚数 w, wz が解ならW, Wも
解法のプロセス
(1) 実数係数の方程式
が解なら
も解
(2) (1)がなければ,z=p+gi(p, q は実数) と
おいて,与えられた方程式に代入しますが,ここ
では(1)の利用を考えます. まずは, (1) が使える条
件になっているかどうかを確かめます。
(2) (1) の利用を考える
(2+2)+(
解答
とおく。
(1) WW2 2次方程式 22+αz+β=0の解であるから,解と係数の関係より
ws+wz=-a, w1w2=B
・①
係数が実数の4次方程式z+az+bz+cz+d=0 において, 異なる虚数
W1, W2 が解ならば,共役複素数 wi, W2も解であり,①より, wi+W2 ( 虚数)
なので,wwでもある. したがって WW2,WW2のすべては異なるから
z+az+bz+cz+d
=(z-wi)(z-W2)(z-wi)(z-wz)
=(22_(w+wz)z+w1w2}{22(w1+wz)z+w1wz}
=(z+az+B)(22+az+B) ( ① )
=2+1+2+(aa+B+B)22+(aj+αB)z+BB
係数を比較して
因数定理
W1,W2を消去

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

「実数係数の」2次方程式の解は、共役です

今回の2次方程式z²+αz+β=0の係数のうち、
α,βは虚数なので、2解w1,w2は共役とは限りません

よく見ると、「精講」(1)や「解法のプロセス」にも、
同様のこと（係数は実数ですから〜）
が書いてあります

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例によって、おかしな回答があるようです

>二次方程式の解が虚数のとき、
>必ず解は2つあって共役の関係じゃないんですか？
>「共役の関係です」

は誤りです
上述の通り、そうとは限りません

>「ω1とω2は異なる2次方程式同士の虚数解だから共役ではない」

も、問題設定を読み落とした誤りです
w1とw2ははじめの2次方程式の2解なので、
この方の上での主張にのっとれば共役なはずなのに、
共役でないというのは矛盾しています
（実際は上述の通り、実数係数でないので、
そもそもが共役とは限りません）

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

ありがとうございます！

Answer 2

GDO

二次方程式の係数が実数ならば、虚数解のとき共役です。
係数が虚数の場合は共役とは限りません。
例えば、
x^2+3ix-2=0の解は、因数分解すると
(x+i)(x+2i)=0なので、共役ではありません。

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

ありがとうございます！