Question

高校生

ヌの解説で、青マーカーの部分で質問です。なぜ、bn+4-bnが、5の倍数なら、bn+4とbnを5で割ったあまりが等しくなるのてすか？

(3) 数列{4},{6}の一般項を
an=
75n-
ケマ (n=1,2,3, ...)
bn= #2^(n=1,2,3, …)
とし,数列{a}, {6} の項として両方に現れる数を一つずつ, 小さいものから順
に並べてできる数列を {c} とする。
381318
24816
25
2328 33
32 64
である。
タ
C₁ = a
b
ソ
C2=
セ
43
3
48
(ii) 数列{c} の一般項について考えよう。
8:5
数列{a} は
イ
で割ったときの余りがとなる正の整数」
を小さいものから順に並べてできる数列である。よって, bn を
イ
で割っ
64=54-2
62=54
たときの余りをrn (n=1,2,3,... とすると,数列{b,} の項be が数列{c}
の項として現れるための必要十分条件は
24810
[re=
チョ
かつ be >0」
である。
さらに
1₁ =
ツ
12=
テ
13=
r4=
ナ
r5=
であり, n=1, 2, 3, に対して
rn= ヌ
128-54-2
が成り立つから
130=54
Cn=b
n-l
26
130
126=su
|-
であり、数列{c} の一般項を求めることができる。
(数学II,数学B,数学C第4問は次ページに続く。)
3+(4-14
-20-

タ の解答群
数学II 数学B 数学C
1
①2
② 4
③8
16
⑤ 32
⑥ 64
128
ヌ
の解答群
rn+1
①rn+2
② n+3
③rn+4
④rn+5
Ck
(iii) Σ ch≧20000 を満たす最小の自然数nは
ハ である。
d
2345
243124312
5
16-1

(ii)
である.
an=5(n-1)+3 (n=1, 2, 3, ...)
より, 数列{a}は
「5で割ったときの余りが3となる, α」 (3) 以上の整数」
すなわち
「5で割ったときの余りが
3 「となる正の整数」
を小さいものから順に並べてできる数列である.
よって, bmを5で割ったときの余りをn (n=1,2,3, …)
とすると, 数列{6} の項 by が数列{cm} の項として現れるため
の必要十分条件は
「n=3 かつ b>0」
である.
さらに
322:30
b1=2,62=4,63=8,b=16,65=32
であるから
r₁ =
2
12=
4
13=
3
r4=
15=
2
である. n=1, 2, 3,
に対して
b=2" (n=1,2,3, ...)
より, すべての正の整数 l に対し
b, 0 は成り立つから,以下は条
=3 についてのみ考える。
ヌ
の③以外の選択肢に
であるから,rn=Int
bn+4-6=2n+4-2"=24.2"-2"=(2-1)・2"=5・3・2"
であるから,bnte-beは5の倍数である。
よって, bn+4 と6mを5で割ったときの余りは等しいから、
n=1,2,3,に対してYn=Pn+4(
が成り立つ.
以上より、数列{bm} の項のうち, 数列{c}に現れるものは
n=1のときに不成立. よって
適. 同様に ①,②も不適.
(=12) であるから,
=n+5はn=1のときに
よって④ も不適.
b3, b, bu b
波線部の数は,初項 3,公差
差数列をなす.
・等比数列の一般項
b3, b7, b1, b15,
であり
Cn= =6344(n-1)
=
=24n-1
wwwwww
4
である.
初項c, 公比Rの等比数
の一般項は
(iii)
Cn=24n-1=23+4(n-1)=23.(24)"'=816"-
n-1
C₂ = CR"-1
より, 数列{c} は初項 8, 公比16の等比数列である.
-等比数列の和
よって
初項c, 公比R(≠1), 項
C=C₁
C=C1+C2+..+C=
8(16"-1) 8(16"-1)
=
k=1
16-1
15
等比数列の和は
C(R"-1)
R-1

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

🍇こつぶ🐡

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