Question

なごみ

この問題について3つ質問があります！1つ目は、解答の(1)はどのような発想から来ているのかについてです。2つ目は、(2)が解答とやり方が違ったのですが、合っているか見て欲しいです！3つ目は、手書きの紙の②の式で、p、qが両方奇数だと、3pqの二乗が奇数になり、右辺と左辺で偶奇が違くなるので、p ､qについて偶奇で場合分けするといいかなと思ったのですが、3pqの二乗がp,q両方奇数の時、奇数としていいのか証明するべきか教えて欲しいです！私は、整数問題で証明なしで使える整数の性質は、a=bk(kは整数)だとaはbの倍数、ak＝bl(a,bは互いに素の時)の時、k＝bm,l＝anと表せるの2つだと思ったので証明した方がいいと思ったのですが、この考え方は合ってますか？また、他に証明なしで使える整数の性質があったら教えて欲しいです！長くなってしまい申し訳ないです💦回答よろしくお願いします！

4p3+3pg2-8q30 .
892 =42+3q2
P
③の右辺は整数だから左辺も整数である。これとは互いに素により
は8の正の約数つまり 1,2,4,8 のいずれかである.以上から
1 1
a = 1,2,4,8,
2'4
-の可能性しかない。しかしこれらを実際に①に代入
しても成立しないことがわかるので, a は有理数ではない。
す、す
を
nπ
43-17
整数係数の次方程式の有理数解 3次方程式 有理数・無理数
165
165
+1-
VV 64 VV 64
-1 とする. 次の問に答えよ。
(1)は整数を係数とする3次方程式の解であることを示せ.
(2)a は有理数でないことを証明せよ。
アプローチ
(1)でするべき作業は
(v)(v)
2)です。
(弘前大
です.つまり, 有理化 (
有理数についてはを参照してください。 (2)は,(1)でa を解にもつ方程
式を求めているので, その方程式が有理数解をもたないことを示せばよいで
しょうここで背理法を用いるのはと同じです。
=120-83=2
の
解答
65
65
(1)g=
VV 64
+1,β=3
-1とおくと
V64
0°
P
☐
65
a=α-β, aβ =
となる. これを
-1=
へ代入して
2=a³+3a
64 4'
α3-β3=(α-B)3+3aβ(a-β)
4a³ +3a-8=0
よって, a は 4x3+3x-8=0の解である.
9
①
☐
(2)が有理数であると仮定するとa 0だから(ただし pq は互
いに素な自然数) とおける ① に代入すると
P3
+3
4.- +3.P-80
9
4p3
=-3pq+8q2
9
2
②の右辺は整数だから左辺も整数である。これとp, q は互いに素によりq
は4の正の約数つまり 1,2,4のいずれかである。さらに②から
(フォローアップ
1.整数係数のn次方程式 ax” +... +b=0を解くとき, x=±
(aの約数)
を代入し解をみつけて因数分解しているでしょう.それは直感的にいえば、
ax"+... +b=(○x-△)・・・・・ (Ox-△) と因数分解できたなら○の積は
(bの約数)
a,△の積はb になるはずで、だから有理数解は±=±
(bの約数)
PICCOLLAGE

(2)aが有理数と仮定すると、azogり
a =
・1/1Pは互いに素の自然数)
とする。これと①に代入すると
4+380-8:0
t
4P+3P83-883=0-②
t
4P3=&²(82-30)だしない。
hとPは互いに
いに素より
ないので
4-8-kと表せる。
(kは自然教え)
これを満たす&kの組み
合わせは、(k) (211)
=
のみである。
=(112)
①ごの時②に代入すると
4P+3P-8:0
P(4P*+3)=8
これを満たすPは存在しな

回9020時②に代入すると
4P3+12P-64=0.3
P3+3P-16=0
いて、直接水の式
P+3P2(16.5)
P(+3)=16.
通る餃子
これを満たすPは存在しない。
P
これより、a=
長と表
と表せないので
有理ではない
つまり