左のページは絶対値取らないでも計算できますが，右ページは場合分けする必要があるっていうのの理由を知りたいです｡どういう場合に場合分けをしなければいけないかは把握してます
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00000
(2)
x-2<0
-1<0-1≥0
X-2≥0
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基本 40 絶対値を含む方程式
次の方程式・不等式を解け。
(1)|x-1|=2
(2)|2-3x|=4
(3)|x-2|<3
指針
ただし,(1)~(4)の右辺はすべて正の定数であるから,
絶対値記号を含むときは、場合分けをして、絶対値
記号をはずして考えるのが基本である。
|A|=
次のことを利用して解くとよい。
>0 のとき 方程式|x|=cの解はx=±c
-c<x<c
不等式|x|<c の解は
不等式|x|>c の解は
x<-c, c<x
(1)|x-1|=2から
x-1=±2
x1=2 または x1=-2
x=3,-1
(4)基本
A
11=1_^
-A
例題 41 絶対値を含む方程式
P.63 次の方程式を解け。
(1) x-2|=3x (2)|x-1|+|x-2|=x
AKO 絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。 それには,
|x-1=Xとおくと
|XI=2
よって X=±2
| (2) |2-3x|=|3x-2 であるから, 方程式は 3x-2|=412-3x=4から
2-3x=±4
としてもよいが、
|= {_^
|A|=
-A
(A≧0 のとき)
(A < 0 のとき)
であることを用いる。 このとき, 場合の分かれ目となるの
は, A=0, すなわち | 内の式 =0の値である。
(1)x2≧0x20, すなわち,
x≧2とx<2の場合に分ける。
(2) 2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの
値は,それぞれ1 2 であるから,x<1, 1≦x<2, 2≦x
の3つの場合に分けて解く (p.75 ズーム UP も参照)。
(1)[1]
章
19
2
x
場合の分かれ目
41次不等式
解答
すなわち
よって
ゆえに
3x2=±4
答
すなわち
3x2=4 または 3x2=-4
|-4|=|A|を利用
のとき, 方程式は x-2=3x
これを解いて x=-1 x=-1 は x2を満たさ
ない。
よって
(3)|x-2|<3から
x=2, -2
の係数を正の数に
[2] x<2のとき, 方程式は
-(x-2)=3x
1
3
-3<x-2<3
(3),(4)x2=Xと
おくと解きやすくな
これを解いて x=
2
x= は x<2を満たす。
2
重要!
場合分けにより,||を
はずしてできる方程式の
解が、場合分けの条件を
満たすか満たさないかを
必ずチェックすること
(解答の の部分)。
1
各辺に2を加えて
-1<x<5
|X|<3から
[1], [2] から, 求める解は x=
(4)|x-2|>3から
x-2<-3, 3<x-2
-3<X<3
したがって
x<-1, 5<x
|X|>3から
最後に解をまとめておく。
-2x+3=x
X<-3, 3<X
これを解いて x=1 x=1はx<1を満たさない。
[2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x
これを解いて x=1
- をつけてをはず
す。
x-1≧0, x-2 < 0
x=1は1≦x<2を満たす。
(x-1)+(x-2)=x
<x-1>0, x-2≧0
2
(2)[1] x<1のとき,方程式は (x-1)(x-2)=xx-1<0,x-2<0→
すなわち
絶対値を数直線上の距離ととらえる
|b-alは,数直線上の2点A(a),B(b)間の距離を表しているから, x-2は数直線」
座標が2である点と点P(x) の距離ととらえることができる。 よって、(3),(4)の不等
満たすxの値の範囲は、下の図のように表すことができる。
|x-21=3
x-21>3
\x-21=3
[3] 2≦xのとき, 方程式は
2x-3=x
すなわち
これを解いて x=3
以上から、 求める解は
y=x-21のグラスと方程式
x=3は2≦xを満たす。
x=1, 3
最後に解をまとめておく。
②も①と同様にばあいわけせずにおこなうことができると言われてますが，どのようにできますか？
自分ですると答えが異なってしまいます｡