ちょっと難しくなるかもしれません、
問題の理解
サイコロを \( n \) 回投げたときに出る目の最大値が 3 である確率を求めます。つまり、出た目は 1, 2, 3 のいずれかで、4, 5, 6 は出てはいけません。
ステップ 1: 出る目の条件
サイコロの目は 1, 2, 3, 4, 5, 6 ですが、最大値が 3 であるためには、出る目はすべて 1, 2, 3 のいずれかでなければなりません。
ステップ 2: 有効な目の数
サイコロを投げたとき、出る目が 1, 2, 3 のいずれかである確率を考えます。サイコロの目が 1, 2, 3 のいずれかである確率は次のように計算できます。
- サイコロの目が 1, 2, 3 のいずれかである確率は \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) です。
ステップ 3: すべての目が 1, 2, 3 である確率
サイコロを \( n \) 回投げたとき、すべての目が 1, 2, 3 である確率は次のように計算できます。
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^n
\]
ステップ 4: 最大値が 3 である条件
出た目の中に 3 が少なくとも 1 回出る必要があります。これを考えるために、最大値が 3 である場合の確率から、最大値が 1 または 2 である場合の確率を引きます。
- **最大値が 1 の場合**: すべての目が 1 である確率は \( \left( \frac{1}{6} \right)^n \) です。
- **最大値が 2 の場合**: 各目が 1 または 2 である確率は \( \left( \frac{2}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{3} \right)^n \) です。
ステップ 5: 最大値が 3 である確率の計算
したがって、最大値が 3 である確率は次のように計算できます。
\[
P(\text{最大値が 3}) = \left( \frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{6} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n
\]
### まとめ
サイコロを \( n \) 回投げたときに出る目の最大値が 3 である確率は、次の式で表されます。
\[
P(\text{最大値が 3}) = \left( \frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{6} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n
\]
この式を使って、具体的な \( n \) の値を入れて計算することができます。例えば、サイコロを 2 回投げたときの確率を求めることができます。
