Question

文系

微積分の問題で分からない点が二つあります。
質問している問題、解説を写真一枚目〜三枚目に貼ってます。
・（2）の問題は三次関数のグラフの接線の本数＝接点の個数になることから（1）で求めたTの式に点Aの各座標を代入して回答を進めているのですが、なぜ点AのX座標、Y座標を求めるのにTの式を使って求められるの
でしょうか？

・（3）で2本の接線を求める時に（＊）を利用して
　傾きを求めていますが、
　なぜ（＊）から2直線の傾きがわかるのですか？

解説お願いします💦

曲線 C: y=x-π上の点をT(t, t-t) とする.
1 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2)点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, b のみたす関係式
を求めよ. ただし, α > 0, 6 ≠ α-α とする.
(3)(2)のとき,2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ。

3章
解
(1) f(x)=x-x とおくと、f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は.
y-(t-t)=(3t2-1)(x-t))x()
y=(3t-1)x-2t
(2)(1) の接線はA(a, b) を通るので
b=(3t2-1)a-2t3
(大
|86|
大
∴.2t-3at2+a+b=0 ...... (*)
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t-3at2 +α+ b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち,
y=x-x|
T
(t.t³-t)
A (a, b)
(極大値)×(極小値) = 0 であればよい.
|95 注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから

153
a=0
98/1g(0)g(α)=0
a=0
[(a+b) (b-a+α)=0
b=a-a,a>0 だから, a+b=0
(3)(2)のとき(*)より, f2(2t-3a)=0
a≠0 は極値をもつ
ための条件
2本の接線の傾きはf'(0), f (22) だから,直交する条件より
3a
ƒ'(0) ƒ (³ a ) = −1
(2)=-1
f
27
(-1)(2/22-1)=-1
8
a²=
27
26
2√6
a>0より,a=
b=
9
9