位置ベクトル、ベクトルと図形
440A'C=AOB'C
から。
(ア)∠O を2等分するベクトルは,k
ることを示せ。
(+) (
628
基本 例28 内心、傍心の位置ベクトル
を AB, AC で表せ。
00000
(1)AB=8,BC=7,CA=5 である △ABCにおいて, 内心を1とするとき,
(2) AOAB において, OA=d, OB=とする。
別解(), と同じ向きの単位
ベクトルをそれぞれ OA', OB'
とすると O'=
OB'=
al'
8-59
16
B
OA' + OB'=OC とすると,四角
ō
(kは実数,k=0)と表され
形 OA'CB' はひし形であるから,
点Cは ∠Oの二等分線上にある。
よって、 求めるベクトルは, kをk=0である実数として
A
B
40A-OB-AC-B'C-1
基本26
kOC=k(OA'+OB')=k
1=(+/
と表される。
(イ)点Pは△OAB において
ZOの二等分線上にあるか
5, (ア)より
0
-3-b
D
⇒ BD: DC=AB: AC
OP=
+
(s は実数)
(イ) OA=2,OB=3,AB=4のとき,∠0の二等分線と∠Aの外角の二等分
線の交点をPとする。このとき,OP を d で表せ。
指針 (1) 三角形の内心は、3つの内角の二等分線の交点である。
次の 「角の二等分線の定理」 を利用し,まずAD を AB, AC
で表す。 右図で ADが△ABCの∠Aの二等分線
(2)
次に, △ABDと∠Bの二等分線BIに注目。
AB の交点をDとして,まずOD を a, で表す。
Oの二等分線と辺
別解 ひし形の対角線が内角を2等分することを利用する解法も考えられる。 つ
まり, OA'=1, OB' = 1 となる点 A', B' をそれぞれ半直線 OA, OB 上にとっ
てひし形 OA'CB' を作ると, 点Cは∠0の二等分線上にあることに注目する。
(イ)(ア)の結果を利用して, 「OP を d, で2通りに表し, 係数比較」 の方針で。
点Pは∠Aの外角の二等分線上にある→AC=OA となる点Cをとり, (ア)の
結果を使うとAPはa, で表される。 OP = OA+APに注目。
ZCの二等分線と辺
AC=OA となる点Cをとる
と, 点Pは△ABCにおいて
∠BAC の二等分線上にあるから
よって
+
AP-AB
AC
|ABITACH (tは実数)
OP=0A+AP
4-B
k=0のときは,
OCとなり,不合
理。
注意点Pは、
△OABの心 (20
内の傍心) である (数
学A)。
の結果を利用。
三角形の内角の二等
分線を作り出すため
の工夫。
(ア)の結果を利用。
629
OPをもの式に直す。
AB=OB-OA,
|AB=4, AC-DA.
||AC|=|0A|=2
章
4
=1+1=2+1)=(1+1/+1/
解答
(1) △ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD:DC=AB:AC = 8:5
a=0, 60, axであるから 1/2=1+1/11/23=1/4
St
ABの交点をEとし
AE: EB=5:7,
5AB+8AC
よってAD=
13
0-8
15
EI: IC=-
10:5
これを解いてs=6,t=8 ゆえに OP=3a+26
別解 (イ) AB とOP の交点をDとすると
AD: DB=0A:OB=2:3
8 56
また, BD=7• = であるから
13 13
=2:3
APはOAD の∠Aの外角の二等分線であるから
B
AI: ID=BA:BD=8:
56
13
7 D
C
=13:7
このことを利用して
もよい。
OP:PD=AO:AD=2:(4×2/3) = 5
=5:4
「外角の二等分線の定
理」 (数学A) を利用
する解答。
AD: DB=2:3 から
AD: AB=2:5
ゆえに
20
AI=22AD=13.5AB+8AC
(2)(ア∠Oの二等分線と辺 AB の交点をDとすると
AD: DB=OA: OB=|ab|
20
=1/AB+/AC
13
角の二等分線の定理
を2回用いると求め
られる。
よって
OP=5OD=5•
3a+26
2+3
-=3a+26
角の二等分線の定理
を利用する解法。
(2)ア)の結果は,三角形の内心や角の二等分線が関係する問題で有効な場合もあるので、覚
えておくとよい。
検討
ゆえに OD=
|6|0A+|4|OB_
|a|+|6|
ab
0
a+b a b
(+)
△OAB の ∠0を2等分するベクトルは
OB
OA
k
+
(kは実数, k0)
|OA| |OB|
求めるベクトルは, t を t≠0 である実数として tOD と表
される。
ab
a
b
+16
-t=kとおくと, 求めるベクトルは
B
Tal- D61
(+) (kは実数, k≠0)
tOD=lab
+
練習 (1) △ABCの3辺の長さをAB=8,BC=7, CA=9とする。 AB=6, AC=cと
28
し, △ABCの内心をPとするとき, AP を6,cで表せ。
(2) AOAB において, |OA| =3, |OB|=2, OA・OB=4とする。 点Aで直線 OA
に接する円の中心Cが∠AOBの二等分線上にある。 このとき,OCを
OA=d, OB= で表せ。
[(2)類 神戸商大] p.638 EX 19. 20
青字で確認事項書かせていただきました、よろしくお願いします