Question

Ｊ

121の別解の考え方がよく分かりません
なぜこのような作業をして求められるのでしょうか

基礎問
184 第7章 数
121 Σ記号を用いた和の計算(ⅣV) SK
一般項が an=n・2"-11, 2, 3. と表される数列{a,
について S=a+a2+…+an とおく. このとき,S-2Sを計算
することによってSを求めよ.
|精講
一般項が,(nの1次式) xyn+c (r≠1) という形をしている数列の
和の求め方は2つあります。
I. S-rS を計算すると,等比数列の和になって, Sを求めることができる
rは,rn+c が等比数列で,その公比になります。 (
Ⅱ. 120の
f(h)-f(k+1) (f(k+1)-f(k) でも

注
.
S=ž k • 2"¯'— — (ƒ (k) — ƒ (k−1))
=(y(1)-S(0))+(/(2)-(1))+..+(n)-(n-1))
=f(n)-f(0)=(n-1)2"-(−1)
=(n-1)2"+1
0175ANO D
2つの考え方を示しましたが、まずはIの方法を完全にマスター
してください。その後,余力があればⅡも使えるように努力しましょ
う。
ちなみに、入試問題の中に2を計算する必要性に迫られ
る場面がでてくることもあります。(たいていは誘導がついています
……
興味のある人は,
k2.2k-1=f(k+1f(k)
となる f(k) を考えてみるとよいでしょう. (もちろん, (別解)と同じ
ように,f(k)-f(k-1) でもよい)
答えは,f(k)=(2-4k+6) 2-1 とすれば,
k2.2k-1=f(k+1)-f(k)
とできます.
また,この計算をIの方法でやろうとすれば,同じ作業を2回くり
かえすことになります.
ポイント
参考
演習問題 121
S=Σ(kの1次式pk+c (r≠1) は
k=1
S-S を計算して、 等比数列の和を利用
指数のところが mk+c ならば, S-r"S を計算します。
次の和 S. Tをそれぞれ計算せよ.
(1)S=1・2'+3・22+5・23+... +(2n-1)・2"
(2) T=1・2'+2・23+3・2+... +n・22-1

S=n.2"-(1+2-
2"-1
=n.2n-
2-1
=(n-1)2"+1
(別解) f(k)=(ak+b)2k とおくと,
ƒ(k−1)=(ak+b− a)2k−1
f(k)-f(k-1)=(ak+b)2- (ak+b-a)2-1
={2(ak+b)−(ak+b−a)}2k−1
=(ak+b+a)2k-1
これが,k•2k-1 と一致するような a,b は
a=1, b+a=0 kHtFDT, a=1, b=−1
参
演習
よって,f(k)=(k-1)2と定めると
k.2f(k) f(k-1)