Question

りーたん

146の(２)で後半部分の 「(前半)の不等式の等号は」って書いてあるところで、不等式の等号気にする理由が知りたいです🙏

*146 (1) x, y, z が正の実数のとき次の不等式を示せ。
√x+√y+√z
3
x+y+z
3
(改岐阜聖徳学園大) ★★★
(2) a, b, c, x, y, z を実数とする。 次の不等式が成り立つことを示せ。
55 √(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥|ax+by+cz|
★また, x+2y+3z=7のとき, x2+y+zの最小値を求めよ。
(改早稲田大)★★★

145
着想
文字が複数あるので,条件式から文字を
消去できないか考える。
3
(√ √ x + √ y + √ z ) = ( √
x+y+z
210
3
よって、x+y+z
3
①+②より
4x-2y=5つまり
②①より,
2x2z=1つまり、
④ ⑤を③に代入すると,
y=2x-
z=x+
52
+1/2
ax+6(2x-1)+c(x+/12/12-1
25
=1
4
ax²+b(4x²-10x+2)+c(x+x+2/21)=1
(a+4b+c)x+(-106+c)x+286+1/c=1
3
(2) (*) √(a+b²+c²) (x²+ y²+2²) ≥0.
ax+by+cz0 より .
√(a²+b²+c²)(x² + y²+z²) ≥\ax+by+cz\
{√(²+b+c)(x+y+2)}zax+by+czP
①の左辺) (①の右辺)
=(a²+b²+c²)(x²+ y²+2)-(ax+by+cz)²
=a² (x² + y²+z²)
+b² (x² + y²+z²) + c² (x² + y²+2²)
-(a²x²+b²y²+c²z²)
+2abxy+2bcyz+2cazx)
(税込)
=a²y²+a²z²+b²x²+b²z²+c²x²+c²y²
これがすべてのxについて成り立つから.
-2abxy-2bcyz-2cazx
25
a+4b+c=0, -106+c=0,
6+1/c=1
=(ay-2abxy+b2x2)
+(b2z2-2bcyz+cy)
8
これを解いて
6=4
a535
8
C=
+(c2x2-2cazx+α'z)
7
=(ay-bx)+(bz-cy)+(cx-az)"NO
The
したがって,
146 (1)
√x+√3+√2
->0,
3
x+y+z
3
->0
{v(°+b+c)(x+y+2)}≧ax+by+cz
よって,
√x+√y+√z
√(a²+b²+c²) (x²+ y²+22) ≥lax+by+cz|
解説
x+y+z
S
3
V
3
√x+√y+√z
3
2
x+y+z
(①の右辺) (①の左辺)
3
(x+y+z)(++)
3
150
3
①
3
証明した不等式は、コーシー・シュワルツの
不等式と呼ばれる。
(後半)
着想
(1)
x+y+z+2√xy+2√yz +2√/zx
x+y+z_x+y+z
9
2x+2y+2z-2√xy-2√yz-2√/zx
9
=/1/(x-2√xy+y)+(y-2,yz + 2)
+(z-2√zx+x)}
= ((√x−√9)²+(√9−√2}+(√2−√x)"}
(前半) の結果を利用できないか考える。
(前半)の不等式の等号は,
ay=bx, bz=cy,cx=az
のとき成り立つ。
......2
(前半)の不等式において, a=1,6=2,c=3
とすると.
√√(12+2+3)(x+y+22)≧x+2y+3z|
よって, x+2y+3z=7より
√14 √x² + y²+z² ≥7)
7
√x² + y² + z² = √14 à
(1)(
したがって,
≥O
不適
したがって,
(
KOKUY

数2b

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

前半から、不等式
　x²+y²+z²≧7/2……☆
が成り立つといえます

しかし、ここから直ちに
　x²+y²+z²の最小値が7/2
とはいえません

☆は
　x,y,zにそれぞれどんな値を入れても
　x²+y²+z²は7/2以上の何かの値になる
という意味に過ぎないからです
つまり、☆は
　x²+y²+z²が7/2ちょうどになれる（等号が成立する）
ということは特に言っていません

ここで、もしも、☆で等号が成立することが示せれば、
　x²+y²+z²はつねに7/2以上で、
　かつ7/2ちょうどになれる
ということで、これはすなわち
　x²+y²+z²の最小値は7/2
といえる、ということです

ということで、等号成立を示さないと、
最小値がいくら、といえません

りーたん

ありがとうございました！