Question

しお

△ABCの3辺の長さをa,b,cとするとき，(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0は，△ABCが直角三角形であるための ⬜︎ 。

①必要条件であるが、十分条件ではない
②十分条件であるが、必要条件ではない
③ 必要十分条件である
④必要条件でも十分条件でもない

これの答えは①らしいのですが、どの角が直角なのが明記されていないので、私は④だと思いました。
なぜ、どの角が直角が明記されていないのに、必要条件になるのかわかりません。
どなたか解説よろしくお願いします。

必要条件と十分条件

Answer 1

rain

この手の問題は、具体的な数値や角度を設定して考えると混乱してしまうと思います。そのため、「十分条件は必要条件の部分集合である」ということを使うと理解して解けると思います。
まず、集合pとqを考えます。このとき、
p…△ABCが直角三角形
q…(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0
とします。
pは三角形の要素として、「△ABCが直角三角形である」が成り立っています。このとき、どこが直角でも構いません。
qは、この式が成り立つ条件に「△ABCが直角三角形である」以外に「二等辺三角形である」というも要素も含みます(a=bの場合)。
このとき、pの要素は1個、qの要素は2個となり、かつpはqの部分集合となるため、p⇒q が成り立つことが分かり、答えが①だと分かります。
実際、角A、角Bのどちらかを直角とし、2辺abが等しい二等辺直角三角形を考えれば、qを満たします。慣れないうちはベン図を書いて練習してみましょう。

rain

すみません、確認したところ他の方の指摘通り、辺の設定によって直角にならない角があります。「実際、角A、角Bのどちらかを直角とし、2辺abが等しい二等辺直角三角形を考えれば、qを満たします。」の部分は余計でした。ただ、この問題は「直角がどこであるか」ではなく、単に「直角であるか」という問題だから、解答が①なのだと思います。

Answer 2

らい

高校範囲では三平方の定理が成り立つ時点で直角三角形になります。
a^2+b^2-c^2=0の部分です