Question

くま

次の式の展開式における［　］内の項の係数を求めよ。
(1)(2x+7)⁵[x³]
(2)(3x-2y)⁷[x²y⁵]
(3)(x/2-1/x)¹⁰[x²]
(4)(a+b+c)⁶[a²bc³]
の解き方がわかりません。
途中式を教えてください。
解は、(1)3920 (2)-6048 (3)105/32 (4)60です。

Answer 1

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二項定理や多項定理を使って解いていきましょう。

(1) (2x + 7)⁵ [x³]
二項定理より、(2x + 7)⁵ の展開式の一般項は、
　₅Cᵣ (2x)ʳ 7^(5-r) = ₅Cᵣ 2ʳ 7^(5-r) xʳ
x³ の項の係数を求めたいので、r = 3 を代入します。
　₅C₃ 2³ 7^(5-3) = 10 × 8 × 49 = 3920
したがって、x³ の項の係数は 3920 です。

(2) (3x - 2y)⁷ [x²y⁵]
二項定理より、(3x - 2y)⁷ の展開式の一般項は、
　<0xE2><0x82><0x87>Cᵣ (3x)ʳ (-2y)^(7-r) = <0xE2><0x82><0x87>Cᵣ 3ʳ (-2)^(7-r) xʳ y^(7-r)
x²y⁵ の項の係数を求めたいので、r = 2 を代入します。
　<0xE2><0x82><0x87>C₂ 3² (-2)^(7-2) = 21 × 9 × (-32) = -6048
したがって、x²y⁵ の項の係数は -6048 です。

(3) (x/2 - 1/x)¹⁰ [x²]
二項定理より、(x/2 - 1/x)¹⁰ の展開式の一般項は、
　₁₀Cᵣ (x/2)ʳ (-1/x)^(10-r) = ₁₀Cᵣ (1/2)ʳ (-1)^(10-r) x^(2r-10)
x² の項の係数を求めたいので、2r - 10 = 2 を解くと、r = 6 です。
　₁₀C₆ (1/2)⁶ (-1)^(10-6) = 210 × 1/64 × 1 = 105/32
したがって、x² の項の係数は 105/32 です。

(4) (a + b + c)⁶ [a²bc³]
多項定理より、(a + b + c)⁶ の展開式の一般項は、
　6! / (p! q! r!) aᵖ b<0xE2><0x82><0x99> cʳ (p + q + r = 6)
a²bc³ の項の係数を求めたいので、p = 2, q = 1, r = 3 を代入します。
　6! / (2! 1! 3!) = 720 / (2 × 1 × 6) = 60
したがって、a²bc³ の項の係数は 60 です。