26 = √√√3.
12
(
29-√si
9
-3+ √3i
29
+
29
9
(3) 正の整数mに対して,
.6m
26m
-a
a = (-27
√√3.6(
そこで,26mの実部
2
千葉大学・理系 複素数 (1998~2020)
問題
複素数平面上で複素数 0.3, Js+iを表す点をそれぞれA
Bo, Bとする。
の整数nに対して, 点 An+1 は線分ABの中点とし, 点B7+1は直線ABに関して
B-1 の反対側にあり,三角形A+BB+】 が三角形A, BoB, と相似になるものとする
点An (n=1,2,3, ...) が表す複素数をznとする。
(1) 複素数 z3 を求めよ。
(2) 複素数26 を求めよ。
(3)正の整数 m に対して,複素数 26m の実部と虚部をそれぞれ求めよ。
解答例
(1) 複素数平面上で A1(0), Bo(√3), Bi(V+i)とし
点A2は線分ABの中点, 点 B2 は直線AB」に関して点
Bo の反対側で, △A 2 B B 2 が A B B, と相似になる。
<B2A2B, で, A1A2: A2A3=1:b1=1:-
√√3 2 √3
=
6
YA
1
A,
Para
から,A2AsはA,A2をこだけ回転し、大きさを倍
OA₁
したものになる。
6
ここで, α=- 1/(cosisin)=1/2(+1/2 = 1/2 + とおくと、
√32
6
23-22=α(22-21), 23=22+α (22-21)
√√3
さらに, 0,2= + =√3αであることに注意すると,
2 2
23 = √3a + √3a² = √3a (1+a) = √3 (1+ √3)(3+ √3)
2 6
2
3 3
(2)(1)と同様に考えると, 一般的に,Zn+2-Znil = α (Zn+1-Zn)となり,
Zn+1-Zn=(2-2)^1=(√3a-0)a"-1=√3a"
すると, n≧2において, α≠1から,
n-1
2n = 21+√3a=0+ √3a (a"-1)√3.a" -a
k=1
6
α-1
=
α-1
....(*)
(*)から,26=vaq となり,α = ((cos+isinx)=
-a=!
a6-0
また, α-1=
1
α-1
√3
Si
27-(+√3)=29 √3;
12
+
6
6
-1
==
2
6
+
追iから、
6
_1なので、
27
-112-
Re(26m)
12
Im(26m)
========
12
「コメント
図形絡みの複素数と
せずに数値計算をしま
まず一般的に解く方法
なるほど！図とてもわかりやすかったです😭ありがとうございます！