✨ Jawaban Terbaik ✨
具体的な問題を交えて、実際の場面に即して
聞いてもらいたいです
変に一般化されると、意味が通じなかったり
答えようがなかったりすることがあります
> sin xなどの関数、変数はこの解き方で解けない
必ずしも解けないわけではありません
問題によります
その問題でうまくいかないからといって、
関数全般うまくいかない、というわけではありません
たとえば∫sin³x cosx dxはt=sinxの置換によって
被積分関数に（xを完全に消して）tだけ残し、
しかもそれが簡単に積分できるものになっているので、
この方針でうまくいきます
∫sin³x dxはt=sinxの置換によって∫t³/cosx dtになりますが、
被積分関数にxが残りうまくいきません
（なお、xはtと無関係な定数ではないので、
1/cosxは∫の外に出せません）
cosx = ±√(1-sin²x) = ±√(1-t²)として
被積分関数をtのみにしようとしても、
被積分関数が複雑で積分しにくそうです
つまり、この置換はうまくいっていないということです
∫sin³x dxは∫sin²x sinx dx = ∫(1-cos²x)sinx dxとして
t=cosxとおくとdt/dx=-sinx ∴dx=-(1/sinx)dtなので
∫(1-t²)(-1) dt = -∫(1-t²) dtとなり、うまく積分できます
cosx=√(1-sin²x)=√(1-t²)なので、
dx=dt/cosxのcosxはtの関数のため積分の中にいれる必要があります。
∫sin³xdx=∫t³/cosxdt=∫t³/√(1-t²)dt
簡単に計算できそうにないので、、、少し工夫する。
ーーーーー
t=cosxとすると、
dt/dx=-sinx → sinxdx=-dt
∫sin³xdx
=∫(1-cos²x)sinxdx
=-∫(1-t²)dt=-t+t³/3+C
=-cosx+cosx³/3+C
二方とも本当にありがとうございます！！！
置換によりxなどの変数が残ってしまった場合は解けないということであってますか？
あと、本当に申し訳ないんですけど、"なお、xはtと無関係な定数ではないので、
1/cosxは∫の外に出せません"の部分がよくわかりません。。。
インテグラルの外に出せる場合と出せない場合の見分け方がわかりません。。。
教えてくださると幸いです。。。
「置換によりxなどの変数が残ってしまった場合は解けない」
↑その通り、”残したら計算できないので、残さないように工夫する”
cosxはtの関数なので、∫の外に出せないの件
例えば、y=x²のとき、∫ydx→y∫dxとしてはいけない。∫ydx=∫x²dxです
定数やxに無関係なら∫の外に出せます。
本当にありがとうございました！理解できました！！！！！！！
回答ありがとうございます！
∮(sin^3x)dx
sinx=tとおく。
dt/dx=cosx
dx=dt/cosx
∮(sin^3x)dx=cosx∮(t^3)dx=cosx(1/4t^4)+C
よって、∮(sin^3x)= cosx(1/4 (sin^3x )^4)+C
では解けないため、sin xなどの関数、変数はこの解き方で解けないということなのかと思って質問しました！