Question

わ

(1)です。
なぜ 2分のkπにしてるんですか？

声tl
P+1
(右)
2th Six { 2 x + (Fatim
yy=2
y
y=(2x+
n=友+1のときを考えると、
2の両辺をつで微分して、
d
dx
cos(2x

1/8
D
基本 例題 75 第n次導関数を求める (1)
を自然数とする。
_1) y=sin2x のとき, ym)=2"sin (2x+
nл であることを証明せよ。
2
(2) y=x" の第〃 次導関数を求めよ。
p.129 基本事項 ■ 重要 76, p.135 参考
指針 yen は,y の第n次導関数のことである。そして、自然数nについての問題です。
解答
から、
自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。
(2)では,n=1,2,3の場合を調べて y'' を推測し,数学的帰納法で証明する。
[注意
数学的帰納法による証明の要領 ( 数学B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2]
n=k+1のときも成り立つことを示す。
=kのとき成り立つと仮定し,
(1)ym=2"sin(2x+
[1] n=1のとき y'=2cos2x=2sin2x+
nπ
① とする。
+z)であるから,①は成り立つ。
kл
2
[2]n=kのとき,①が成り立つと仮定するとy(k)=2sin2x+
n=k+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して
ゆえに
d
axy(8)=24+lcos (2x+h)
dx
2k+1
yi4+1)=2811sin(2x+4+1)=2*+1sin{2x+ (k+1)x}
よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。
sin{2x+(k+1)=
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2)n=1,2,3のとき,順に
2
y=x=1, y"=(x2)"=(2x)'=2・1,y'=(x3)"=3(x2)"=3・2・1
したがって,y(n)=n! ① と推測できる。
[1] n=1のとき y'=1! であるから,①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
y(k) =k!
すなわち
dk
dxkx=k!
nk+1のときを考えると, y=xk+1, (x+1)=(k+1)xk であるから
yiation(sex)=((k+1)x*}
=(k+1)
dx
dk
dxkx=(k+1)k!=(k+1)!
よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立ち
y(n)=n!
nを自然数とする。 次の関数の第n 次導関数を求めよ。
(1) y=logx