Question

みみ

解説右側の4行目のこの方程式はx1＝x2の時の解1-1/aをもつとありますがなぜそのようなことが分かったのか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

(4) f(x) = ax(1-x) (αは実数) とする。 0≦x≦1 を満たすすべてのX」に対して
0≦x≦(n=2,3, ･･･)が成り立つための必要十分条件は
to Ea≤
マ
での
ある。このうちで x1 = x2 となる 0 以外の x が存在するのは
ミ
6
マ
× 1
ときで、このような幻はαを用いて
=
と表わされる。 同様に
a

順天堂大―医
2019年度 数学 23
< x2, x3=x1を満たすx が存在するのは モ
<a ≤
マ
のときで,x」は
を用いて
a+
ヤ
x1 =
-√(a+ユ)(o-ヨ
と表される。
2 a
しいワインで

xmas1 つまり Osa≦4
4
であることが必要である。
逆に, 0≦a≦4のとき, 0≦x≦1において
て
か
+0≤ax(1-x) ≤ a≤ 1 1.4=
・4=1
e
が成り立つから, すべての自然数nに対して0≦x≦1が成り立つ。
したがって,求める必要十分条件は
≦a≦4 (→ホマ)
さらに,x=x2 が成り立つのは
自然
x1=ax1(1-x1)
のときであり, x=0より
HC、大
1=a(1-x1)
本日
a=0 とすると, 1=0となり等式が成り立たないので, a≠0である。
よって
D
X=1--
1
a
であり, 0<x≦1と0<a≦4より
a'x (1-x) {1-ax(1-x1)}=x1
④より,x≠0であるから、両辺をxで割り展開して整理すると
a³x1³-2a³x²+a²(a+1)x+1-a²=0
この方程式はx=X2 (=x2) のときの解x=1-
1
を解にもつから,左
a
辺は (1) を因数にもつ。このことに注意して左辺を因数分解す
ると
{ax-(a-1)}{a'x²-a(a+1)x+a+1}= 0
1
④より≠1-2.つまり,ax-a-1) ≠0であるから
a'
axia(a+1)x+α+1=0 •••••
④より, a≠0 であるから,これを解くと
x1=-
a(a+1)±√a^(a+1)2-4a^(a+1)
2a²
a+1±√(a+1)(α-3)
2a
01-11 つまり 1<a≦4
したがって
a
1<a≦4(→ミ), 1-1/2 (→ム・メ)
次に,X2,X=x を満たすx を考える。
まず, x1 <x2 より
xax1(1-1) つまり x{ax-(4-1)} < 0
0≦x≦1であるには
a>0, 0<x<1-1
......④
a
であることが必要である。
f(x)=xf(f(x))=x1af(x1){1-f(x1)}=x1
また, x3 = x1 より
であるから
は実数であるから
(a+1)(a-3)≥0
が必要であり,④のa>00≦a≦4より
3≤a≤4
ここで, ⑤の左辺をg(x1) とおくと
であり
K
g(0)=a+1>0 (3≦a≦4より)
(1-1)=(a-1)-(a+1)(a-1)+a+1=3-a
(2) G
④よりx=1-12 は ⑤の解でないからa≠3,よって,a>3であり、この
a
とき.9 (1-1/2) <0であるから,⑤の実数解のうち、①を満たすものは
a+1-√(a+1)(a-3)
2a
したがって, xX2, X3=x1 を満たすx が存在するのは
3<a≦4 (
)

Answer 1

和

解くためには情報不足です
補って再度質問してください