Question

ゆーき

双曲線
なぜPを特殊な置き方すると上手くいくのか、またなぜ自分のやり方では接線が三本求まってしまうのか教えて欲しいです。

62
例題 6.2
双曲線H:
1に点 (21) から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ.
同様に, B=√3 のとき, ② よりα=2.
これを①に代入して、求める接線の方程式は、
そのときの接点の座標は,
x-y=1
【解答】
<別解>
P(4, 3)
直線x=2は求める接線 (のひとつ) であり,このとき接点の座標は (2,0).
点 2 1 を通る直線で, x=2以外のものは
とおける.
√√√3
(i) k=±
傾き
…①
63
Cs
(ii) k±2
一のとき,①は耳の漸近線に平行になるので接線になることはない。
のとき、 ①がHに接するための条件は、 ①をHの方程式に代入して得られる方程
式
H上の点P (2α,3β) における接線の方程式は,
3x²-4{k(x-2)+1}^2=12,
・なぜP
yxfy=1
...1
すなわち,
ではなくこうおくのか②
・接線
これが (21) を通るので,
が重解をもつことなので, ②の判別式をDとおくと
(3-4k²)x2+(16k-8k)x-16k+16k-160
B
α-
·=1
・・・②
D
=0
4
また,PはH上の点なので,
'-β2=1
...③
②より, α=1+- となるから,これを③に代入して
B=0 のとき, ②よりα=1.
-β'=1
-(+1)
B(B-√3)=0
B=0,√3
これを①に代入して, 求める接線の方程式は,
x=2
そのときの接点の座標は,
P(2,0)
(8k2-4k)-(3-4k²)(-16k²+16k-16)=0
k2(2k-1)^+(3-4k^) (k-k+1)=0
3k-3=0
k=1
これを①に代入して, 接線の方程式は,
y=x-1
また、このとき②は(x-4)=0となるので, 重解x=4をもつ
よって、 接点の座標は,
(4, 3)

(a (t+t) (-)) the
J.-XMX
ha
DERIE
6.1
29
H
4
82
焦点F(0.1).F'10-V)
主軸
3
FB
~2
FB
B
6.2
y=x
Q
(9,1)
P(Xo.yo)
Sα
S
yo
3
接点P(xo.yo)におけるHの接線は、
xox - Yoys | - - - ②
4
12.1)を通る時
yyo no
3
2
J-3x-3
①へ代入
- 300² - 413-32×5-3)² = 12
②が
緑QRの中は、
以上より、求める接線は、
((+_+)
中はPと一致せた!
@tatet)
<8-1/2y=10:24
a-y=12
x+y=1
なぜ出てくる?
✓
10
16 yo
10
AOOR
gx-9%+9)=12
4
3
2
3
Jozq
yo=3-3
4
3-9%+30%-36=12
-690²+3640-48=0
802-6%+8:0
(20-4)(x-2)=0
:90=2.4
P12.0) P(4.3).P(9,-3)

Answer 1

昼行性の梟

Pの置き方については、そう置くと計算が楽だからです。
ゆーきさんの置き方でも解くことは可能ですが、計算が煩雑になってしまってミスの素になります。
分母と打ち消しあって上手く消えるように文字を置いただけです。

なぜ接戦が3本出てくるのかは、接点の座標(4,-3)が間違っているからです。

具体的にはx₀=2,4まではあっていますが、
この値をy₀=(3x₀/2)-3の式に代入して出てくるy₀は、0と3だけです。

x+y=1の式を見てみると、(2,1)を通らないことが分かると思います。