Question

skywhite

285の問題で、赤線を引いた場所について。
kの係数に-がつく時とつかない時の場合分けがよく分かりません。

方程式ax+by=cの整数解の1つをx=p,y=qとすると、すべての整数解はx=bk+p,y=-ak+q
となっています。

なので、例えば(1)ならyの方が-5k(aが5のため)となるのはわかるのですが、(2)はどうして2つとも+なのでしょうか？
7x-2x=1
7x+(-2)y=1となり、xの方は-2k,xの方は-7kになると思ったのですが違いました。

どう考えればいいのか教えて欲しいです。

よろしくお願いします。

・数学A
よって, 7a-176=1より 90.7-37.17=1
両辺に4を掛けると
90(4.7)-37· (417)==4
すなわち
90・28-37.68=4
よって、 求める整数x, yの組の1つは
285 (1)
x=28, y=68
5x+7y=1
①
x=3,y=-2は、①の整数解の1つである。
よって
5.3+7(-2)=1
①-② から 5(x-3)+7(y+2)=0
②
5と7は互いに素であるから, ③ のすべての整
数解は
x-3=7ky+2=-5k (kは整数)
したがって, ① のすべての整数解は
x=7k+3,y=-5k-2 (kは整数)
[参考] x=p, y=gを1つの整数解に選ぶとき、
x=7k+p,y=-5k+g (kは整数)
がすべての整数解となる。
(2)
7x-2y=1
したがって, ①
x=8k+3,
参考 1 19と8に
19=8.2+3
8=3.2+2
3=2・1+1
よって 1=
=
=
したがって, 1
x=3,y=7で
参考 219,
計算から
3=19-8.2よ
2=8-3･2よ
13-2.1 よ
①
よって, 3a-
x=1,y=3は、①の整数解の1つである。
7.1-2・3=1
よって
①② から 7(x-1)-2(y-3)=0
7と2は互いに素であるから, ③のすべての整
数解は
x-1=2k, y-37k (kは整数)
したがって、 ① のすべての整数解は
x=2k+1,y=7k+3 (kは整数)
[参考] x=p,y=gを1つの整数解に選ぶとき,
x=2k+p, y=7k+g (kは整数)
したがって,
x=3,y=7
286 (1)
19
x=4, y=-
つである。
よって
両辺に
がすべての整数解となる。
(3)
13x+5y=1
① ② から
①
x=2, y=-5は、 ① の整数解の1つである。
よって
13.2+5.(-5)=1
①-② から 13(x-2)+5(y+5)= 0
13と5は互いに素であるから, ③ のすべての整
数は
30 と 17 は
整数解は
x-8=
したがって
x=17
[参考] 130 と

1次不定方程式

Answer 1

ら

場合分けとかでは無いですねー

Answer 2

鯛のお造り

>7x+(-2)y=1となり、xの方は-2k,yの方は-7kになると思ったのですが違いました。

あってますよ。kは整数なので、k'=-kとおくと、k'も整数で、
　x-1=-2k、y-3=-7k　(kは整数)
のとき、
　x-1=2k'、y-3=7k'　(k'は整数)
となり解答に一致します。不定1次方程式の解の書き方はいくらでもあります(たとえばk'=k+1としてもk'は整数なので正しい)

もしかしたら解の形を丸暗記してるかもしれませんが、以下のように考えれば求められます

(1)なら、③を移項して、
　-5(x-3)=7(y+2)
5(x-3)は7の倍数だが、5と7は互いに素なので、x-3が5の倍数。よって、
　x-3=5k
7(y+2)は-5の倍数だが、5と7は互いに素なので、y+2が-5の倍数。よって、
　y+2=-5k

(2)なら、③を移項して、
　7(x-1)=2(y-3)
(1)と同様に、
　x-1=2k、y-3=7k