Question

yyy

マーカーの式はどうやって求めたものですか？

192
1/21.7 1/26.X / 23.
重要 例題 113 漸化式と極限 (5)
...
・はさみうちの原理
数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, …………) を満たす
1
(1) 0<a<3を証明せよ。
(2) 3-an+1<·
3
(3-4) を証明せよ。
(3) 数列 {a} の極限値を求めよ。
C
i
p.174 基本事項 3.
指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法 の利用。
(2)(1) の結果,すなわち > 0, 3-α>0であることを利用。
(3) 漸化式を変形して,一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で
式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-an}の極限を求める。...
はさみうちの原理 すべてのnについて pan≦gn のとき
limplimgn=α ならば
liman=α
710
118
80
なお,次ページの補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
解答
(1) 0<an<3
① とする。
[1] n=1のとき,与えられた条件から ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<a<3
n=k+1のときを考えると, 0<ak <3であるから
ak+11+ √1+ak 20
SE
ak+1=1+√1+an <1+1+3=3
したがって 0<ak+1 <3
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2)3-αn+1=2-√1+an
3-an
2+1+an3 3
(3-an)
n-1
(3-a₁)
(数学的帰納法
<0<a<3
<0 < ak から
ak<3から
<3-α>0で
ら 2+√1+
n≧2のとき
(3) (1), (2) 5 0<3-an
1n-1
lim(1/3) (3-a) = 0 であるから
したがって
lim(3-an)=0
00+U
liman=3
n→∞
<()*(3-
練習
α=2, n≧2のときan=
Jan-1
1
を満たす数列{an}について
2
③3
113
(1) すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。
(2) 数列{a} の極限値を求めよ。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

鯛のお造り

3-anをA{n}と書かせてください
(2)で示した式によると、
　A{n+1} < (1/3) A{n}
です。この式のnをn-1、n-2、n-3、…、1に変えても成り立つので、
　A{n} < (1/3) A{n-1}　　…①
　A{n-1} < (1/3) A{n-2}　…②
　A{n-2} < (1/3) A{n-3}　…③
　…
　A{2} < (1/3) A{1}
です。よって、
　A{n} < (1/3) A{n-1}　(①より)
　　　< (1/3)･(1/3) A{n-2}　(②より)
　　　< (1/3)･(1/3)･(1/3) A{n-3}　(③より)
　　　…
　　　< (1/3)^(n-1) A{1}
となります。等比型の漸化式の一般項を求める操作と似ています

写真内のマーカー引いてある行の右側にも似たようなこと書いてありそうに見えるのでそちらも参考にしてください

yyy

ありがとうございます！