Question

まゆげどす

数IIBの質問です。
このf（x）の式がαとβで極値をとるというのは、どうしてf（x）を微分した式の解になるんですか？？お願いします

基本 例題 184 3次関数の極大値と極小値の和
00000
は定数とする。f(x)=x+ax2+ax +1 が x=α, β (α<β) で極値をと
f(a)+f(B)=2のとき, 定数αの値を求めよ。
基本183

HART & SOLUTION
3次関数f(x)がx=α, β で極値をとるから,α, β は 2次方程式 f(x) =0の解である。
しかし、f'(x) = 0 の解を求め、それをf(a)+f(B)=2に代入すると計算が煩雑。
f(α)+f(B)はαとの対称式になるから
α,βの対称式 基本対称式α+β, aβ で表されるに注目して変形。
なお,α+B,αは、f'(x)=0で解と係数の関係を利用すると αで表される。
0
解答
の特徴
3次
2次
f'(x) =3x2+2ax+α
D70
a
f(x)がx=α,βで極値をえるから、
まず、f(x) が極値をも
f'(x)=0 すなわち 3x²+2ax+a=0
は異なる2つの実数解 α, βをもつ。
... ①
つようなαの範囲を求
めておく (基本例題 183
(1) と同様)。
①の判別式をDとすると
D₁ = a²
-=a2-3a=a(a-3)
4
a < 0,3<a
......
②
LA
D>0 から
また,①で,解と係数の関係により
2
a+b=a, aẞ=a
3
T
aß=
ga
ここでf(d+f(B)+aataa +13 + ape+ab+1/
=(a+b)+a(a2+B2)+α(α+B)+2
3+3
=(a+B)-3aB(a+B)+a{(a+B)2-2aß}+α(a+B)+2=(α+B)3-3aB(a+B),
3
かたまり作る
=(-2 a)² - 3. — — a⋅(-²/a)
27
f(α)+f(B)=2 から
よって
+(-)-2)+(-a)+2
+2
2a3-9a2=0
27a³-23a²+2=2
a=
②を満たすものは
すなわち
3
a2(2a-9)=0
313
α2+B2=(a+B)2-2ab
α, β を消去。
Fink この問題では極大値
と極小値の和 f(α)+f(B)
を考えた。極大値(もしく
は極小値)を単独で求める
必要がある場合に,極値の
x 座標であるα(もしくは
β)の値が複雑な値のとき
は EX 148 を参照。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

塾講師 「たおたん先生」

「極値」というのは、二次関数の頂点のように「グラフがUターンする場所のx座標」というイメージを持っていればオッケーです。

次には「微分が何を表しているか」ですが
「微分」は「接線の傾き」というイメージを持っていればオッケーです。

よって
「x=α、βで極値をとる」
↓
「x=α、βがUターンする場所」
↓
「x=α、βでの接線の傾きが0」
↓
「x=α、βでの微分が0」
↓
「x=α、βは微分=0の解」