Question

都

三角関数の問題についての質問です。青マーカーを引いたところなのですが、なぜ-4≦a≦0ではダメなのですか？軸が0、1の時も一応共有点は持つということになると思うのですが。2番目でf(0)＝0やf(1)＝0となる場合を考えているから必要ないということでしょか。

150
と
294 第4章 三角関数
Think
例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件
****
OOT とする. 0 の方程式 -cos20+asin0+a=0 1 を満たす
0が存在するための定数 αの値の範囲を求めよ.
( 岩手大改)
使え方 gin0 とおくと、2倍角の公式を利用して、の2次方程式として考えることがで
きる
共有点を考えるとよい .
まり、その2次方程式の解の存在範囲の問題となるので、 2次関数のグラフと軸の
a
α
Bt
tのとり得る値の範囲に注意しながら, 実数解 tの存在範囲を調べればよいが, そのと
ときの着眼ポイントは, 「区間の端点の符号」, 「軸と区間の位置関係」, 「判別式 (
き,上のようにいろいろな場合が考えられ, 場合分けの必要がある. 場合分けをする
は2次関数のグラフの頂点のy座標)」である。
解答
t=sin0 とおくと,0≦πより,
0≤t≤1
②
cos20=1-2sin'0=12t より ①に代入して,
もの値の範囲に注意
する.
do-(1-2t2)+at+a=0
つまり, 2t2+ at + α-1=0 ......③3
全国でしたがって, ①を満たす 0 が存在するための条件は,区
間 ②において,tの2次方程式 ③が少なくとも1つの実数解
をもつこと,つまり,③より,f(t)=2t+atta-l とお
ふとy=f(t)のグラフが区間 ②でt軸と少なくとも1つ
の共有点をもつことである.
m
(i) f(0) f(1) が異符号のとき
つまり,f(0)f(1) 0 のとき
f(0)=a-1
f(1)=2+a+a-1=2a+1
したがって, (a-1)(2a+1) < 0
よって、
<<
if(0)=0 または f(1)=0 のとき niannie
つまり,f(0)f(1)=0 のとき
(a-1)(2a+1)=0
m
最終的に2次関数の
問題として捉えるこ
とができるかがポイ
ント
区間の端点の符号で
場合分けを考える.
(注》 を参照)
f(0)>0,f(1)<0
または、
f(0) < 0, f(1)>0 より
f(0)f(1) <0
f(0) = 0 のとき, す
0
1
よって,
a=-
または a=1
でに t=0 が③の解
となるのでf(1) の符
号は関係ない.
207 0 me
med

**
す
歌)
がで
軸の
f(0) f(1) が同符号のとき
f(t) のfの係数が正より
区間② で ③が実数解をもつための条
件は、
f(0)>0 かつ f(1)>0 かつ
f(t) =0 の判別式をDとすると,
D≧0 かつ
=f(t) の軸が区間内のコ
である.
f(0)=a-1>0より, a>1
f(1)=2a+1>0より,a> -/1/2
3 三角関数の加法定理 295
f(0) <0, f(1) < 0
の場合は区間内に解
をもたない.
0
0800
t
0%
D=α-8a+8≧0 より,
a≦4-2√/24+2√/2≦a.......⑥
α-8a+8=0 より
a=4±2√2
*
のと
する
また
意
軸は24より30 <- <1
a
4
スパー
f(t)=21+ at+a-1
-4 <a< 0 ......⑦
つまり,
したがって、④~⑦を同時に満たすαの値は存在しない
以上(i)~(面)より,求めるaの値の範囲は,≦a≦l
=2(1+)²+
第4章
1
in 20-
Focus
注
解の存在範囲における場合分け
8*nie + pinie
「区間の端点の符号」 「軸と区間の位置関係」 「判別式(または2次
関数のグラフの頂点のy座標)」に着目せよ!
例題 152 で 「区間の端点の符号」で場合分けを行ったのは, (i) や (ii) の場合は端点の符
号を調べれば,軸や判別式を調べなくても、題意を満たすαの値の範囲を調べること
ができるからである。
k
このことは, Focus Gold 数学Ⅰ+Aの第2章 「2次関数」 で学んだ 「解の存在範囲」
の問題と関連している.
>「定数分離」という着眼から、例題152を次のように解くこともできる。
2t+ at + α-1=0 より, 2t-1=--
(S)
yA
g(t)=2t2-1,h(t)=-at-a とすると, ③を満たす
が区間 ②内に存在するのは,y=g(t) と y=h(t) が区
間 ②において共有点をもつ場合である.このとき,
h(t)=-α(t+1) より, y=h(t) は定点 (1,0)を通
る直線であるから, 右の図より, 共有点をもつのは,
-a≤-
iy=h(t)
1
y=g(t)
0
1 t
より12a1のときである。200
(0.1)を通る直線から,
練習
とする. 0 の方程式 sin'0+acos0-2a-10 ....
[152]
が存在するための定数αの値の範囲を求めよ.
(1,1) を通る直線まで変化する.
① を満たす 0
(同志社大改)
****

三角関数

Answer 1

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ゆーき

その解釈であっていると思いますよ。
そもそもⅲの場合分けの前提が「同符号の時」なのでf(0)＝0やf(1)＝0は考えていないのだと思います。

都

回答ありがとうございます。確かに同符号という前提がありましたね。