「基本例題 27 垂心の位置ベクトル
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平面上に △OAB があり,OA=5,OB=6,AB=7 とする。また,△OAB の垂
6
心をHとする。
(1) cos ∠AOB を求めよ。
(2) OA=d, OB=とするとき,OH をa,” を用いて表せ。
指針
1
p.379 基本事項 重要 29
章
三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
あり △OAB の垂心Hに対して, OA⊥BH, OB⊥AH,
AB⊥OH が成り立つ。
そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件
に直して解く。 (2)ではOH=sa+tとし, OABH=0,
OBAH=0の2つの条件から,s.tの値を求める。
(1)余弦定理から
H
A
B
4 位置ベクトル、ベクトルと図形
52+62-72 12
解答
COS ∠AOB=
2.5.6
60
(2)(1) から
ab=abcos ZAOB=5.6.-
1-5
=6
5
△OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A, B
と一致することはない。
Hは垂心であるから OA⊥BH, OB⊥AH
OH=sa+to (s, t は実数) とする。
OA⊥BH より OA・BH = 0 である 8日
から
よって
ゆえに
すなわち
d•{sa+(t-1)}=0
slaf+(t-1)a=0
25s+6(t-1)=0
25s+6t=6
......
A
a HH
【参考】 |AB=16-G
=1612-26-a+la
|AB|=7, |a|=5,||=6
であるから
72=62-25 ・a+52
よって a1=6
指針一
★ の方針。
垂直の条件を
(内積)=0 の計算に結び
つけて解決する。
B
<|a|=5, a1=6
また,OBAH より OB・AH=0であるから
{(s-1)a+t6}=0
(s−1)ã•+t|b|²=0
6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1・ ②
よって
ゆえに
5
19
①②から
S=
t=
24'
144
5
したがって
OH=a
24 144
19
a+
-6
① 垂直→ (内積) = 0
AH=OH-OA
<a-b=6, 161=6
■ ① ② から
24s=5
練習 平面上に △OAB があり, OA=1,0B=2, ∠AOB=45°とする。また,△OAB の
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