Question

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この問題の キク でGCが何故CD/2になるのか分かりません…(3ページに拡大写真)
解説お願いします！

問題. 1.1
四角形ABCD において, AB=4,BC = 2, DA = DC であり、4つの頂点 A, B, C, D
は同一円周上にある. 対角線 AC と対角線 BD の交点を E, 線分 AD を 2:3 の比に内
分する点を F, 直線 FE と直線 DC の交点をG とする.
∠ABC の大きさが変化するとき四角形ABCD の外接円の大きさも変化することに注意
すると,∠ABC の大きさがいくらであっても,∠DAC と大きさが等しい角は, ∠DCAと
LDBC と
である.
ア
アの選択肢
∠ABD,
∠ACB,
∠ADB,
ZBCG,
ZBEG
このことより
EC
イ
AE
ウ
である.
次に, △ACD と直線 FE に着目すると、
である.
GC
H
DG
オ
(1) 直線 AB が点 G を通る場合について考える.
このとき、△AGD の辺 AG 上に点 B があるので, BG = カ である.また,直線
AB と直線 DC が点 G で交わり 4点 A, B, C, D は同一円周上にあるので、
DC =
である.
(2) 四角形 ABCD の外接円の直径が最小となる場合について考える.

解答 1.1. 三角形 DAC は DADC の二等辺三角形なので,
である. 円周角の定理より,
である. よって
ZDAC = ZDCA
LDCA=∠ABD
ZDAC = ZABD
すなわち, ア は ∠ABD.
∠ABD= ∠DBC であることより, 直線 BD は ∠ABC の二等分線である. よって、線分AB
と BC の比は、線分AE と EC の比に等しいので,
EC
1
AE : EC = AB:BC = 4:2=2:1,
=
AE
2
次に三角形 ACD と直線 FE についてメネラウスの定理を用いると,
DF AE CG
GC
= 1,
=
FA EC GD
DG オ3
(1) 直線 AB が点 G を通る場合について考える. 三角形 AGD と点E に関して,チェバの定理
を用いると,
AB GCDF
=1, BG = "3
BG CD FA
また, 直線 GA と GD 及び点 A, B, C, D を通る円に対して方べきの定理を用いて,
GA・GB = GD・GC
⇔ (3+4) 3 = (GC + CD) GC=
=
2
(CD + CD) CD
2
⇔CD2=28

また, 直線 GA と GD 及び点 A, B, C, D を通る円に対して方べきの定理を用いて,
GA・GB = GDGC
⇔ (3+4)3= (GC+CD) GC = (CD + CD). CD
⇔CD2 = 28
⇒CD=2√77.
2
(2) 四角形 ABCD の外接円の直径が最小となる場合について考える まず, 円周上の2点を結
ぶ線分の長さを考えると2点をどのようにとってもその分の目は古NTth