Question

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請問各位
有一正八邊形abcdefgh,若p在六邊形abcdgh內部,且∆pab的面積為150,∆pgd的面積為50,則正八 邊形的面積為多少
謝謝！！

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

qn

因為 AB // DG
兩個三角形面積可以轉換成底乘以高的關係

設此正八邊形的邊長為 x
由其中的邊角關係可得
AB = x
DG = (1 + √2) x
AB 到 DG 的距離是 (1 + √2/2) x
此正八邊形的面積是 (2 + 2√2) x²

設 P 到 AB 的距離為 y，則
P 到 DG 的距離為 (1 + √2/2) x - y

因此
△PAB 面積 = ½ · x · y = 150
△PDG 面積 = ½ · (1 + √2) x · [ (1 + √2/2) x - y ] = 50

xy = 300
(1 + √2)(1 + √2/2) x² - (1 + √2)xy = 100

上式代入下式
(1 + √2)(1 + √2/2) x² - (1 + √2)·300 = 100

一元二次方程式解x
(1 + √2)(1 + √2/2) x² = 100 + 300(1 + √2)
= 400 + 300√2
(1 + √2/2) x² = (400 + 300√2) / (1 + √2)
= (400 + 300√2)(√2 - 1)
= 200 + 100√2
x² = (200 + 100√2) / (1 + √2/2)
= (200 + 100√2)(1 - √2/2)·2
= 100·2
= 200

(x = √200 = 10√2)

⇒ 正八邊形面積為 (2 + 2√2) · 200 = 400 + 400√2

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謝謝~