Question

哇卡卡卡卡

請問這題該如何解？

《練習》已知可微分函數f(x)對實數x,y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+7xy(x+ y)
若f'(0)=3,試求f'(2)=? f"(2)=?
《答案》31;28
,

Answer 1

qn

首先將 y 視為常數，左右兩式視為 x 的函數
f(x+y) = f(x) + 7y·x² + 7y²·x + f(y)
兩式微分
f'(x+y) = f'(x) + 14yx + 7y²
這個方程式仍然對所有實數 x , y 均成立

此時令 x=0 , y=2
得 f'(2) = f'(0) + 28 = 31

因為 f'(x+y) = f'(x) + 14yx + 7y² 對所有 x , y 都成立
此時將 x 視為常數，左右兩式視為 y 的函數
兩式對 y 微分
f''(x+y) = 14x + 14y

此時令 x = y = 0
得 f''(0) = 0

再回到 f'(x+y) = f'(x) + 14yx + 7y²
現在將 y 視為常數，左右兩式視為 x 的函數
兩式對 x 微分
f''(x+y) = f''(x) + 14y

此時令 x=0 , y=2
得 f''(2) = f''(0) + 28 = 28