Question

ゆん

図が上手く書けません
書き方を教えて欲しいです🙏

4 [II型 必須問題】(配点 40点)
xy 平面上において, 連立不等式
で表された領域をDとする.
x≧0,y≧0,x+y≦1
(1) P(x,y)がD上を動くとき,
*(-)mil X=2x-6y, Y=5x+y
によって定められる点 Q(X, Y) が存在する領域を XY 平面上に図示せよ。
(2)αを実数の定数とする. 点P(x, y)がD上を動くとき,
(2x-6y-a)+(5x + y)2
の最大値をαを用いて表せ.

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

きらうる

(1)
X＝2x-6y、6Y＝30x+6yとして、両辺を足すと、
X+6Y＝32x　→　x＝(X+6Y)/32
5X=10x-30y、2Y＝10x+2yとして、両辺を引くと
5X-2Y＝-32y　→　y＝-(5X-2Y)/32

これらをx≧0、y≧0、x+y≦1に代入すると、
(Ｘ+6Y)/32≧0、-(5X-2Y)/32≧0
(Ｘ+6Y)/32-(5X-2Y)/32≦1
整理して
X+6Y≧0、5X-2Y≦0、-X+2Y≦8
→　Y≧-1/6X、Y≧5/2X、Y≦1/2X+4

きらうる

図です

ゆん

ありがとうございます！
とても分かりやすいです
(2)もお願いしたいです🙇‍♀️

きらうる

(2)
(1)より、与式は
(X-a)²+Y²
とおくことができる。これを、
(X-a)²+Y²＝k²　とすることで、半径k、中心(a,0)の円の方程式として表すことができる。これにより、kが最大となるときの値をaで表す。

(1)で作った範囲である3直線の交点はそれぞれ
(0,0)、(-6,1)、(2,5)
(-6,1)と(a,0)、(2,5)と(a,0)との距離が同じになるときのaを求めると、
(a+6)²+(-1)²＝(a-2)²+(-5)²
→　a²+12a+36+1＝a²-4a+4+25
→　a＝-1/2
これにより、中心(-1/2,0)のとき、円の半径kが最小になる。
半径が最大になるには、a＝-1/2より大きいか小さいかで最大となる点が異なってくる。
a＞-1/2のとき、(-6,1)と(a,0)を結ぶ線分が最大の半径になり、a＜-1/2のとき、(2,5)と(a,0)を結ぶ線分が最大の半径になる。

①a＞-1/2のとき
(-6,1)と(a,0)を結ぶ線分の長さの2乗は
(a+6)²+(-1)²
＝a²+12a+37
②a＝-1/2のとき
125/4
③a＜-1/2のとき
(2,5)と(a,0)を結ぶ線分の長さの2乗は
(a-2)²+(-5)²
＝a²-4a+29

ゆん

本当にありがとうございます🙇‍♀️